1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...

In matematica, la serie indeterminata

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k!$

fu considerata per la prima volta da Eulero, che applicò i metodi di sommabilità per assegnare un valore finito a questa serie. La serie è la somma alternata dei fattoriali, cioè che alternativamente sono sommati o sottratti. Un modo di assegnare un valore a questa serie è usando la somma di Borel, con cui si scrive che

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k!=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k{e}^{-x}dx$

Se si scambiano la sommatoria e l'integrale (ignorando che nessuno dei due membri converge), si ottiene:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^k]e^{-x}dx$

La sommatoria nelle parentesi quadrate converge ed è uguale a $1/(1+x)$ se $|x|<1$. Se si prolunga analiticamente $1/(1+x)$ ad ogni $x$ reale, si ricava un integrale convergente per la serie:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k!& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}}{1+x}dx\\ & =e{E}_1(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\dots \end{array}$

dove $E_1(z)$ è la funzione integrale esponenziale. Questa è per definizione la somma di Borel della serie.

Derivazione

Si consideri il sistema formato da queste due equazioni differenziali

$\dot{x}(t)=x(t)-y(t),\dot{y}(t)=-y(t{)}^2$

dove i punti indicano le derivate rispetto a $t$.

La soluzione con equilibrio stabile in $(x,y)=(0,0)$ con $t\to \mathrm{\infty }$ è $y(t)=1/t$, e sostituendola nella prima equazione si ottiene una soluzione nella forma di serie formale di potenze

$x(t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{(n-1)!}{t^n}$

Si osservi che $x(1)$ è precisamente la serie dei fattoriali alternati.

D'altra parte, il sistema di equazioni differenziali ha soluzione

$x(t)=e^t\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-u}}{u}du.$

Attraverso integrazioni per parti successive, la serie di potenze formali diventa uno sviluppo asintotico dell'espressione di $x(t)$. Eulero argomentò (più o meno) che uguagliando si ha

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}(n-1)!=e\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-u}}{u}du.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Serie sommativa unitaria
• Serie di Grandi
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