1 − 2 + 4 − 8 + · · ·

Template:F In matematica, 1 − 2 + 4 − 8 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di due a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −2.

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-2{)}^i$

È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:

$1-2+4-8+\cdots =(1+4+\cdots )-(2+8+\cdots )$ che corrisponde a $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-2{)}^i=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{2i}-\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{2i+1}$.

Sommatoria numero 1

Analizziamo ora la prima sommatoria: $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{2i}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $2^{2i}=(2^2{)}^i=4^i$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{4}^i$;

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$\sum _{i=0}^m{4}^i=\frac{1}{3}\cdot (4^{m+1}-1)$

Sommatoria numero 2

Analizziamo ora la seconda sommatoria: $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{2i+1}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $2^{2i+1}=2\cdot (2^2{)}^i=2\cdot 4^i$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}2\cdot 4^i$, il $2$ si può portare fuori e ottenere $2\cdot \sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{4}^i$.

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$2\cdot \sum _{i=0}^m{4}^i=\frac{2}{3}\cdot (4^{m+1}-1)$.

Somma parziale

Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.

Valore Dispari

Caso nº1: il numero è dispari.

$\sum _{i=0}^1(-2{)}^i=1-2=\sum _{i=0}^0{2}^{2i}-\sum _{i=0}^0{2}^{2i+1}$

$\sum _{i=0}^3(-2{)}^i=1-2+4-8=\sum _{i=0}^1{2}^{2i}-\sum _{i=0}^1{2}^{2i+1}$

$\cdots$

$\sum _{i=0}^m(-2{)}^i=\sum _{i=0}^{\frac{m-1}{2}}{2}^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac{m-1}{2}}{2}^{2i+1}$

La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{\frac{m-1}{2}}{2}^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac{m-1}{2}}{2}^{2i+1}=\frac{1}{3}\cdot (2^{m+1}-1)-\frac{2}{3}\cdot (2^{m+1}-1)=-\frac{1}{3}\cdot (2^{m+1}-1)$

Più precisamente abbiamo che:$4^{\frac{m-1}{2}+1}=2^{m+1}$

Valore Pari

Caso nº2: il numero è pari.

$\sum _{i=0}^2(-2{)}^i=1-2+4=\sum _{i=0}^1{2}^{2i}-\sum _{i=0}^0{2}^{2i+1}$

$\sum _{i=0}^4(-2{)}^i=1-2+4-8+16=\sum _{i=0}^3{2}^{2i}-\sum _{i=0}^2{2}^{2i+1}$

$\cdots$

$\sum _{i=0}^m(-2{)}^i=\sum _{i=0}^{m-1}{2}^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}{2}^{2i+1}$

La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{m-1}{2}^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}{2}^{2i+1}=\frac{1}{3}\cdot (4^m-1)-\frac{2}{3}\cdot (4^{m-1}-1)=\frac{1}{3}\cdot (4^m-2\cdot 4^{m-1}+1)$ .

In generale

Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:

m dispari = $-\frac{1}{3}\cdot (2^{m+1}-1)$

m pari = $\frac{1}{3}\cdot (4^m-2\cdot 4^{m-1}+1)$

Voci correlate

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·