1 + 2 + 4 + 8 + ...

Template:S In matematica, 1 + 2 + 4 + 8 + ... è la serie divergente infinita i cui termini sono le potenze successive di due. È una serie geometrica di ragione 2:

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^i.$

Somme parziali

La serie in questione ha come somma parziale:

$\sum _{i=0}^n{2}^i=2^{n+1}-1$

La dimostrazione si può svolgere per induzione su 'n'. Per n=0 la formula è evidentemente corretta. Se poniamo adesso per ipotesi che sia corretta per 'n-1' cioè:

$\sum _{i=0}^{n-1}{2}^i=2^n-1$

Allora abbiamo:

$\sum _{i=0}^n{2}^i=\sum _{i=0}^{n-1}{2}^i+2^n=2^n-1+2^n=2^{n+1}-1$

Dove il penultimo passaggio segue dall'ipotesi induttiva.

Somma

Come detto, la serie diverge all'infinito, e pertanto non possiede una "somma", almeno nel senso più usuale del termine.

Si può però, sfruttando l'approccio di Eulero alle serie divergenti, studiare la serie di potenze associata:

$f(x)=1+2x+4x^2+8x^3+\cdots =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^i{x}^i$

che, per Template:Tutto attaccato, coincide con la serie originale. Si osservi che questa nuova serie ha raggio di convergenza ¹/₂, e quindi non converge per Template:Tutto attaccato. All'interno del disco di convergenza vale però Template:Tutto attaccato, e tale f è estendibile a tutto il piano complesso escluso il punto Template:Tutto attaccato. Dato che Template:Tutto attaccato, si dice che la serie originale Template:Tutto attaccato è E-sommabile con E-somma uguale a −1. (La notazione E-sommabilità è dovuta a Hardy in riferimento appunto alle idee di Eulero.)

Alternativamente, un altro modo di associare alla serie il valore −1 consiste nell'osservare che si può riscrivere

$\begin{array}{ccc}S& =& 1+2+4+8+\cdots \\ & =& 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\ & =& 1+2S,\end{array}$

e che questa equazione ammette le due soluzioni $S=\mathrm{\infty }$ e $S=-1$.

Nell'insegnamento della matematica, 1 + 2 + 4 + 8 + … è l'esempio principale presentato per definire una serie geometrica divergente con termini positivi.

Bibliografia

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