Funzione integrale esponenziale

Grafico di E₁ (sopra) e di Ei (sotto).

In matematica, la funzione integrale esponenziale è una funzione speciale complessa caratterizzata tramite l'integrale definito del rapporto tra la funzione esponenziale e il suo argomento.

Definizione

La funzione integrale esponenziale $\text{Ei}(x)$ viene definita come:

$\text{Ei}(x):=-\underset{-x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t$

Dato che $1/t$ diverge per $t\to 0$, il precedente integrale si deve intendere come valore principale di Cauchy:

$\text{Ei}(x)=\underset{\delta \to 0}{\lim }[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-\delta }{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\underset{\delta }{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t]$

L'algoritmo di Risch mostra che non si tratta di una funzione elementare.

Per valori complessi dell'argomento si utilizza la funzione:

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{z}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi$

che tramite prolungamento analitico può essere estesa a tutto il piano complesso. L'integrale esponenziale è così anche definito come:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(-x)=-{\mathrm{E}}_1(x)$

Si ha inoltre che per valori positivi di $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$:

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-tz}}{t}dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^{-z/u}}{u}du\mathrm{R}\mathrm{e}(z)\ge 0$

L'integrale esponenziale è strettamente collegato alla funzione integrale logaritmica, definibile come:

$\text{li}(x):=\text{Ei}(\ln (x))$

per tutti gli $x$ reali positivi diversi da $1$.

Sviluppo in serie

Integrando lo sviluppo di Taylor di $e^{-t}/t$ si può derivare il seguente sviluppo in serie per $x\in ℝ$:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!k}x\ne 0$

dove $\gamma$ denota la costante di Eulero-Mascheroni. Per argomenti complessi si generalizza con:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}^k}{k!k}|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi$

Il grafico di ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ è delimitato dalle funzioni elementari $\frac{1}{2}{e}^{-x}\ln (1+\frac{2}{x})$ (in blu) e $e^{-x}\ln (1+\frac{1}{x})$ (in rosso) per $x$ reale e positivo.

Tale somma converge per ogni $z\in ℂ$. Una serie che converge più velocemente si deve a Ramanujan:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\exp (x/2)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}$

Esiste anche una serie divergente che approssima l'integrale esponenziale, ottenuta integrando $z{e}^z{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)$ per parti:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=\frac{\exp (-z)}{z}\sum _{n=0}^{N-1}\frac{n!}{(-z{)}^n}$

che ha un errore dell'ordine di $O(N!z^{-N})$ ed è valida per grandi valori di $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$.

Dalle serie precedenti si evince che ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ si comporta come un esponenziale negativo per grandi valori dell'argomento, e come un logaritmo per valori piccoli. Quando l'argomento è reale e positivo si ha:

$\frac{1}{2}{e}^{-x}\ln (1+\frac{2}{x})<{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)<e^{-x}\ln (1+\frac{1}{x})x>0$

come mostrato nel grafico a lato.

Funzione intera

Sia $\text{Ei}(x)$ che la funzione ${\mathrm{E}}_1(x)$ possono essere espresse mediante una funzione intera:

$\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-e^{-t}}{t}\mathrm{d}t=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^k}{kk!}$

Con questa funzione e la funzione logaritmo si possono utilizzare come definizioni le seguenti uguaglianze:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=-\gamma -\ln z+\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(z)|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi$

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(-x)x>0$

Generalizzazioni

Una generalizzazione della funzione integrale esponenziale è:

${\mathrm{E}}_n(x)=\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-xt}}{t^n}dt$

che può essere scritto come caso particolare della funzione gamma incompleta:

${\mathrm{E}}_n(x)=x^{n-1}\mathrm{\Gamma }(1-n,x)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione speciale
• Funzione gamma incompleta
• Funzioni integrali trigonometriche
• Logaritmo integrale

Collegamenti esterni

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