Polinomio caratteristico

In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.

Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.

Definizione

Sia $A$ una matrice quadrata a valori in un campo $K$. Il polinomio caratteristico di $A$ nella variabile $x$ è il polinomio definito nel modo seguente:

$p_A(x)=\det (A-xI),$

cioè è il determinante della matrice $A-xI$, ottenuta sommando $A$ e $-xI$. Qui $I$ denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di $A$, e quindi $-xI$ è la matrice diagonale avente il valore $-x$ su ciascuna delle $n$ caselle della diagonale principale.

In particolare, $x$ è autovalore di $A$ se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.

Grado e coefficienti del polinomio

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$. Il polinomio caratteristico di $A$ ha grado $n$. Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:

$p_A(x)=(-1{)}^n{x}^n+(-1{)}^{n-1}\mathrm{t}\mathrm{r}(A)x^{n-1}+\dots +\det A.$

Il coefficiente di $x^k$ del polinomio è la somma moltiplicata per $(-1{)}^k$ dei $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ determinanti dei minori $(n-k)\times (n-k)$ "centrati" sulla diagonale.

Ad esempio, se $A$ è una matrice 2 per 2 si ha:

$p_A(x)=x^2-\text{tr}(A)x+\det A.$

Autovalori

Template:Vedi anche Le radici in $K$ del polinomio caratteristico sono gli autovalori di $A$.

Questo si dimostra formalmente ponendo $v$ autovettore di $A$. Si ha allora $Av=\lambda v$, ed in particolare:

$(A-\lambda I)v=0.$

Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione $(A-\lambda I)$ è non nullo se $\lambda$ è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:

$\det (A-\lambda I)=0.$

Se $A$ è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori $a_{1,1},\dots ,a_{n,n}$ sulla diagonale principale, allora:

$p_A(x)=(a_{1,1}-x)\cdots (a_{n,n}-x).$

Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha $n$ radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.

Invarianza per similitudine e diagonalizzabilità

Template:Vedi anche Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Infatti, se:

$A=M^{-1}BM$

per qualche matrice invertibile $M$, si ottiene:

$\begin{array}{cc}{p}_A(x)& =\det (A-xI)=\det (M^{-1}BM-xI)\\ & =\det (M^{-1}BM-x{M}^{-1}M)=\det (M^{-1}BM-M^{-1}(xI)M)=\det (M^{-1}(B-xI)M)\\ & =\det (M^{-1})\det (B-xI)\det M=(\det M{)}^{-1}{p}_B(x)\det M=p_B(x).\end{array}$

In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma $xI$ commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet (con l'accortezza di averne dimostrato una versione che funziona per matrici a coefficienti nell'anello dei polinomi a coefficienti nel campo).

Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo $T$ di uno spazio vettoriale $V$ a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di $T$ che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che $T$ è diagonalizzabile se esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $T$ è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori. In particolare, la base che diagonalizza $T$ è composta da suoi autovettori.

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata $A$ con $n$ righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

• La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è $n$, ossia il polinomio caratteristico può essere fattorizzato nel campo attraverso polinomi di primo grado.
• Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti, ossia la dimensione degli autospazi è uguale alla molteplicità con la quale il relativo autovalore è radice del polinomio caratteristico. Poiché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, se l'applicazione ha $n$ autovalori distinti nel campo, allora è diagonalizzabile.

Invarianza per trasposizione

La matrice trasposta $A^t$ ha lo stesso polinomio caratteristico di $A$. Infatti

$p_{A^t}(x)=\det (A^t-xI)=\det (A^t-x{I}^t)=\det ((A-xI{)}^t)=\det (A-xI)=p_A(x).$

Qui si fa uso del fatto che il determinante è invariante per trasposizione.

Esempi

• Data:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right),$

allora:

$A-xI=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)-x\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-x& 3\\ 0& 4-x\end{array}\right)$

e quindi:

$p_A(x)=\det (A-xI)=(1-x)(4-x).$

Gli autovalori di $A$ sono le radici del polinomio: 4 e 1.

• Data:

$B=\left(\begin{array}{ccc}2& \pi & 0\\ -1& -3& 5\\ 0& 4& 3\end{array}\right)$

in modo analogo si trova:

$p_B(x)=-x^3+2x^2+(29-\pi )x-(58-3\pi ).$

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro p.149
• Template:Cita libro p.246
• Template:Cita libro pp.120-5
• Template:Cita libro p.274
• Template:Cita libro p.246

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Determinante
• Polinomio minimo
• Teorema di Hamilton-Cayley

Collegamenti esterni

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