Polinomio minimo

Template:Nota disambigua In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice.

Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.

Definizione

Matrici quadrate

Data una matrice quadrata $A$ a valori in un certo campo $𝕜$, si considera l'insieme:

${ℐ}_A=\{p(x)\in 𝕜[x]|p(A)=0\}$

di tutti i polinomi che si annullano in $A$. Questo insieme risulta essere un ideale (detto ideale dei polinomi) nell'anello $𝕜[x]$ di tutti i polinomi con coefficienti in $𝕜$.

L'anello $𝕜[x]$ è un anello euclideo (è infatti possibile fare una divisione fra polinomi con resto) di conseguenza, è un anello ad ideali principali e quindi ogni ideale è generato da un unico elemento. In particolare:

${ℐ}_A=(m(x))$

è generato da un elemento $m(x)$. Tale elemento è unico a meno di moltiplicazione per una costante non nulla ed è quindi unico se lo si suppone monico (cioè con coefficiente 1 nel termine $x^n$ con $n=\mathrm{deg}(m(x))$). Si definisce quindi il polinomio minimo di $A$ come il polinomio $m(x)$.

Endomorfismi

Dato un endomorfismo:

$T:V\to V$

di uno spazio vettoriale $V$ su $𝕜$ di dimensione finita, il polinomio minimo $m(x)$ di $T$ è definito in modo analogo come il generatore monico dell'ideale:

${ℐ}_f=\{p(x)\in 𝕜[x]|p(T)=0\}$

formato da tutti i polinomi che annullano $T$. L'endomorfismo $p(T)$ è costruito interpretando la moltiplicazione come composizione di endomorfismi.

Proprietà

Le proprietà qui elencate per le matrici quadrate valgono anche per gli endomorfismi, infatti, dato uno spazio vettoriale $V$ definito su un campo $𝕜$ e di dimensione $n$, vi è l'isomorfismo canonico $(\mathrm{End}(V),\circ )\cong (M_n(𝕜),\cdot )$, dove $M_n(𝕜)$ è l'insieme delle matrici di ordine $n$ e aventi come entrate elementi del campo $𝕜$.

Polinomio caratteristico

Per il teorema di Hamilton-Cayley, se $p$ è il polinomio caratteristico di una matrice $A$ allora $p(A)=0$. Quindi $p$ è un elemento dell'ideale ${ℐ}_A$, e perciò il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.

Più precisamente, se il polinomio caratteristico $p(x)$ si decompone in fattori primi come:

$p=p_1^{i_1}\cdots p_k^{i_k}$

allora il polinomio minimo si decompone in fattori primi come:

$p=p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}$

dove:

$1⩽l_j⩽i_j\mathrm{\forall }j=1,\dots ,k$

In particolare, i polinomi minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi.

Triangolarizzabilità

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo $𝕜$.

Diagonalizzabilità

In base al teorema di diagonalizzabilità, si sa che una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo $𝕜$ e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica. Ne consegue che una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte radici nel campo $𝕜$ di molteplicità uguale a $1$.

Esempi

Grado uno

Il polinomio minimo di una matrice $\lambda I$ ottenuta moltiplicando uno scalare $\lambda \ne 0$ per la matrice identità $I$ è pari a:

$m(x)=x-\lambda$

D'altra parte, se $m$ è di grado uno, la matrice è necessariamente del tipo $\lambda I$.

Diagonale

Il polinomio minimo della matrice diagonale:

$J=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$

è

$m(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$

mentre il polinomio caratteristico è:

$p(x)=(x-1{)}^2(x-2)(x-3)$

Blocco di Jordan

Dato un blocco di Jordan di ordine $n$ relativo all'autovalore $\lambda$:

$J=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& \cdots & 0\\ 0& \lambda & \ddots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & \lambda \end{array}\right)$

Il suo polinomio minimo è:

$m(x)=(x-\lambda {)}^n$

Applicazioni

Diagonalizzabilità

Il polinomio minimo è uno strumento potente per determinare la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

Proiezioni

Una proiezione, nella sua accezione più generale, è un endomorfismo $T$ tale che:

$T\circ T=T$

Una proiezione è sempre diagonalizzabile. Infatti, prendendo:

$p(x)=x^2-x=x(x-1)$

vale $p(T)=0$. Ne segue che $p$ appartiene all'ideale ${ℐ}_f$, ed è quindi diviso dal polinomio minimo $m$ di $T$. Poiché $p$ ha due radici $0$ e $1$ di molteplicità $1$, anche $m$ ha radici di molteplicità $1$, e quindi $T$ è diagonalizzabile.

Involuzioni

Una involuzione è un endomorfismo $T$ tale che:

$T^2=\mathrm{id}$

Analogamente, $T$ è radice del polinomio $x^2-1=(x+1)(x-1)$ che ha due radici, che sono distinte se la caratteristica del campo è diversa da $2$. Quindi $T$ è diagonalizzabile.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro §6.7
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Voci correlate

• Diagonalizzabilità
• Forma canonica di Jordan
• Matrice quadrata
• Polinomio caratteristico
• Polinomio monico
• Spazio vettoriale
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

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