Teorema di Hamilton-Cayley

Template:F In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni applicazione lineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$ in sé stesso (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti in $K$ valutabile sull'algebra degli endomorfismi (o delle matrici quadrate).

Più precisamente, se $A$ è la trasformazione lineare nello spazio $n$-dimensionale (o, equivalentemente, una matrice $n\times n$) e $I_n$ è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale:

$(-1{)}^n{A}^n+(-1{)}^{n-1}\mathrm{t}\mathrm{r}(A)A^{n-1}+\dots +\det (A)I_n=0.$

Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Hamilton–Cayley vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.

Il teorema

Un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ è una trasformazione lineare $T:V\to V$. L'insieme degli endomorfismi su $V$, con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione, è una $K$-algebra denotata con ${\text{End}}_K(V)$ o $\text{End}(V)$. Analogamente, le matrici quadrate di ordine $n$ a valori in $K$, con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto, formano una $K$-algebra denotata con $M(n,K)$ o $M(n)$.

Se $V$ ha dimensione $n$, considerando una base $B$ per $V$ si può associare a ogni endomorfismo di ${\text{End}}_K(V)$ una matrice di $M(n,K)$ tramite un isomorfismo.

Inoltre, considerando un polinomio $p(x)$ a coefficienti in $K$, se $a$ è un qualsiasi elemento di una $K$-algebra si definisce l'elemento $p(a)$ dell'algebra come quello ottenuto da $a$ tramite le operazioni prescritte da $p$ (somma, prodotto per scalare e prodotto fra elementi dell'algebra). In particolare, se $T$ è un endomorfismo allora $p(T)$ è un endomomorfismo, e se $A$ è una matrice allora $p(A)$ è una matrice.

Enunciato

Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se $f$ è un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita e $p(x)$ è il suo polinomio caratteristico, allora $p(f)=0$.

Analogamente, se $A$ è una matrice quadrata e $p(x)$ il suo polinomio caratteristico, allora $p(A)=0$.

Dimostrazione

Si consideri un generico $v\in V$. Se $v=0$, allora è banale che $p(f)(v)=0$, essendo $p(f)$ un endomorfismo. Possiamo allora considerare $v\ne 0$. Prendiamo $k\in \mathbb{N}$ massimo tale che $v,$ $f(v),$ $f^2(v),$ $\dots ,$ $f^{k-1}(v)$ siano linearmente indipendenti, cioè $f^k(v)=a_{k}v+a_{k-1}f(v)+\dots +a_1{f}^{k-1}(v)$. Possiamo completare questo insieme di vettori ad una base di $V$, $B=\{v,f(v),\dots ,f^{k-1}(v),v_1,\dots ,v_n\}$. La matrice associata ad $f$ rispetto a questa base sarà allora del tipo $M_B(f)=\left[\begin{array}{cc}A& D\\ 0& C\end{array}\right]$ con

$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& a_k\\ 1& 0& \dots & 0& a_{k-1}\\ 0& 1& \dots & 0& a_{k-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& a_1\end{array}\right].$

La matrice $M_B(f)$ è triangolare a blocchi, dunque il suo polinomio caratteristico è

$p_{M_B(f)}(t)=p_C(t)p_A(t)=p_C(t)(-1{)}^k(t^k-a_1{t}^{k-1}-\dots -a_k),$

da cui

$p_{M_B(f)}(f)=p_C(f)(-1{)}^k(f^k-a_1{f}^{k-1}-\dots -a_k).$

Applicando questo endomorfismo a $v$, otteniamo

$p_{M_B(f)}(f)(v)=p_C(f)(-1{)}^k(f^k(v)-a_1{f}^{k-1}(v)-\dots -a_{k}v).$

Ma per quanto visto, $f^k(v)=a_1{f}^{k-1}(v)+\dots +a_{k}v$, dunque $p_{M_B(f)}(f)(v)=0$ e dalla generalità di $v$ segue la tesi.

Esempio

Si consideri per esempio la matrice:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right].$

Il suo polinomio caratteristico è dato da:

$p(\lambda )=\det \left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 3& 4-\lambda \end{array}\right]=(1-\lambda )(4-\lambda )-2\cdot 3={\lambda }^2-5\lambda -2.$

Il teorema di Cayley–Hamilton implica che:

$A^2-5A-2I_2=0,$

il che si può facilmente verificare.

Applicazioni

Diagonalizzabilità

Template:Vedi anche Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice $A$ che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali $A^2=I_n$ oppure $A^2=A$, è diagonalizzabile.

Potenza di matrice

Il teorema permette di calcolare potenze di matrici ad esponente intero più semplicemente che con la moltiplicazione diretta, mentre per il calcolo di potenze ad esponente arbitrario è necessario fare leva anche sulla teoria della funzione di matrice. Ad esempio, usando il risultato precedente:

$A^2-5A-2I_2=0,$

$A^2=5A+2I_2,$

si può calcolare $A^4$ nel modo seguente:

$A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2,$

$A^4=A^{3}A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A,$

$A^4=145A+54I_2.$

Analogamente:

$A^{-1}=A^{-1}{I}_2=A^{-1}\frac{A^2-5A}{2}=\frac{A-5I_2}{2},$

$A^{-2}=A^{-1}{A}^{-1}=\frac{A^2-10A+25I_2}{4}=\frac{(5A+2I_2)-10A+25I_2}{4}=\frac{-5A+27I_2}{4}.$

Dimostrazione

Si fornisce una dimostrazione analitica nel caso in cui $K$ sia il campo dei numeri reali o complessi: sia $A$ una matrice quadrata con $n$ righe. Si supponga inizialmente che $A$ sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi $A$ è simile a $D$ diagonale, in altre parole esiste una matrice invertibile $M$ tale che:

$A=M^{-1}DM.$

Le matrici $D$ e $A$ hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si fattorizza come:

$p(x)=({\lambda }_1-x)\cdots ({\lambda }_n-x),$

dove ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ sono gli autovalori di $A$ (con molteplicità), presenti sulla diagonale di $D$. Qui è facile verificare che $p(D)$ è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che:

$p(A)=p(M^{-1}DM)=M^{-1}p(D)M=M^{-1}0M=0.$

Si è dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su $ℂ$ formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici $n\times n$ in $ℂ$. La funzione che associa ad una matrice $A$ la matrice $P(A)$ è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.

Nel caso di matrici su un campo $K$ qualsiasi, si può ottenere una dimostrazione secondo la traccia seguente. Si estende per cominciare $K$ alla sua chiusura algebrica $F$. In $F$ la matrice $A$ ha dunque $n$ autovalori (contando le molteplicità), e può quindi essere messa in forma triangolare. Ora per le matrici triangolari il teorema è facilmente verificato, in modo simile a quanto appena visto per le matrici diagonali.

Voci correlate

• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo
• Forma canonica di Jordan
• Funzione di matrice

Collegamenti esterni

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