Funzione aritmetica

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, una funzione aritmetica f(n) è una funzione definita per tutti i numeri naturali positivi e che ha come valori numeri reali o complessi che "esprime alcune proprietà aritmetiche di n".

In altre parole: una funzione aritmetica non è altro che una successione di numeri reali o complessi con particolari proprietà aritmetiche. Le più importanti funzioni aritmetiche sono quelle additive e quelle moltiplicative. Un'importante operazione con le funzioni aritmetiche è la convoluzione di Dirichlet.

Proprietà

Una funzione aritmetica f può essere:

• additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
• completamente additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali;
• moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
• completamente moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali.

Funzioni additive

ω(n) – divisori primi distinti

La funzione ω(n) indica il numero di primi distinti che dividono n

$\omega (n)=k,$

se $n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

Funzioni completamente additive

Ω(n) – divisori primi

La funzione Ω(n) indica il numero di fattori primi di n contati con molteplicità

$\mathrm{\Omega }(n)=\sum _{i=1}^k{a}_i,$

se $n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

ν_p(n) – divisori potenze di primi

La funzione valutazione p-adica ν_p(n) indica il massimo esponente elevato al quale p divide n

${\nu }_{p_j}(n)=a_j,$

se $n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

Funzioni moltiplicative

σ_k(n), τ(n), d(n) – somme di divisori

La funzione σ_k(n) è la somma delle potenze k-esime dei divisori positivi di n, incluso 1 e n, dove k è un numero complesso.

${\sigma }_k(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\frac{p_i^{(a_i+1)k}-1}{p_i^k-1}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}(1+p_i^k+p_i^{2k}+\cdots +p_i^{a_{i}k}).$

Nel caso particolare k=0, la funzione σ₀(n) è semplicemente il numero dei divisori (positivi) n; ed è solitamente indicata semplicemente con d(n) o τ(n) (dal tedesco Teiler = divisore).

Sostituendo k = 0 nel secondo prodotto si ha

$\tau (n)=d(n)=(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_{\omega (n)}).$

Nel caso particolare k=1, la funzione σ₁(n) è semplicemente la somma dei divisori (positivi) di n ed è solitamente indicata semplicemente con σ(n).

φ(n) – funzione toziente di Eulero

La funzione toziente di Eulero φ(n) è il numero degli interi positivi minori di n coprimi con n.

$\phi (n)=n\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p})=n\left(\frac{p_1-1}{p_1}\right)\left(\frac{p_2-1}{p_2}\right)\dots \left(\frac{p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}\right).$

J_k(n) – funzione toziente di Jordan

La funzione toziente di Jordan J_k(n) è il numero delle k-ple di interi positivi minori o uguali a n che formano una (k + 1)-pla di numeri coprimi insieme a n.

$J_k(n)=n^k\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p^k})=n^k\left(\frac{p_1^k-1}{p_1^k}\right)\left(\frac{p_2^k-1}{p_2^k}\right)\dots \left(\frac{p_{\omega (n)}^k-1}{p_{\omega (n)}^k}\right).$

Nel caso particolare k=1 si ottiene la funzione toziente di Eulero J₁(n)=φ(n).

μ(n) - funzione di Möbius

La funzione di Möbius μ(n) è importante a causa della formula di inversione di Möbius.

$\mu (n)=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^{\omega (n)}=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}& \text{if }\omega (n)=\mathrm{\Omega }(n)\\ 0& \text{if }\omega (n)\ne \mathrm{\Omega }(n).\end{array}$

Funzioni completamente moltiplicative

λ(n) – funzione di Liouville

La funzione di Liouville λ(n) è definita da

$\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}.$

χ(n) – caratteri

Tutti i caratteri di Dirichlet χ(n) sono completamente moltiplicativi.

Il carattere quadratico (mod n) è indicato con il simbolo di Jacobi per n dispari (non è definito per n pari):

$\left(\frac{a}{n}\right)={\left(\frac{a}{p_1}\right)}^{a_1}{\left(\frac{a}{p_2}\right)}^{a_2}\cdots {\left(\frac{a}{p_{\omega (n)}}\right)}^{a_{\omega (n)}}.$

In questa formula $(\frac{a}{p})$ è il simbolo di Legendre, definito per ogni intero a e per ogni primo p da

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{c}0\text{ if }a\equiv 0(\mathrm{mod}p)\\ +1\text{ if }a\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)\text{ and for some integer }x,a\equiv x^2(\mathrm{mod}p)\\ -1\text{ if there is no such }x.\end{array}$

per l'usuale convenzione del prodotto vuoto si ha $\left(\frac{a}{1}\right)=1.$

Funzioni né additive né moltiplicative

π(x) – enumerazione di primi

Diversamente dalle altre funzioni elencate in quest'articolo, questa è definita per valori reali non negativi (non solo interi).

La funzione enumerativa dei primi π(x) è il numero dei numeri primi minori o uguali a x.

$\pi (x)=\sum _{p\le x}1$

Ad esempio si ha che π(1) = 0 e π(10) = 4 (i primi minori di 10 sono 2, 3, 5, e 7).

Λ(n) – funzione di von Mangoldt

La funzione di von Mangoldt Λ(n), è definita

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p& \text{if }n=p^k\text{ is a prime power}\\ 0& \text{if }n\text{ is not a prime power}.\end{array}$

p(n) – funzione partizione

La funzione p(n) indica il numero di modi di rappresentare n come somma di interi positivi (non considerando l'ordine degli addendi):

$p(n)=|\{(a_1,a_2,\dots a_k):0<a_1\le a_2\le \dots \le a_k\wedge n=a_1+a_2+\cdots +a_k\}|.$

r_k(n) – somma di quadrati

La funzione r_k(n) indica il numero di volte che n può essere rappresentato come somma di k quadrati (dove l'ordine degli addendi e il segno contano come differenti)

$r_k(n)=|\{(a_1,a_2,\dots ,a_k):n=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_k^2\}|.$

Ad esempio r₄(n) è il numero di modi in cui n può essere espresso come somma di 4 quadrati di numeri non negativi. Ad esempio

$1=(\pm 1{)}^2+0^2+0^2+0^2=0^2+(\pm 1{)}^2+0^2+0^2=0^2+0^2+(\pm 1{)}^2+0^2=0^2+0^2+0^2+(\pm 1{)}^2,$

dunque r₄(1)=8.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2).

Voci correlate

• Successione di interi
• Funzione di Möbius
• Funzione φ di Eulero