Funzione di Liouville

In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con $\lambda (n)$ e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come

$\lambda \left(n\right)={(-1)}^{\sum _{k=1}^r{e}_k},$

dove si intende che $n$ sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia

$n=\prod _{k=1}^r{p}_k^{e_k}.$

Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come:

$\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)},$

dove $\mathrm{\Omega }(n)$ è il numero di fattori primi di $n,$ contati nella loro molteplicità.

Dal momento che $\mathrm{\Omega }(n)$ è additiva, $\lambda$ è completamente moltiplicativa. Inoltre $\mathrm{\Omega }(1)=0$ e quindi $\lambda (1)=1.$ La funzione di Liouville soddisfa le seguenti identità:

$\sum _{d|n}\lambda (d)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }n\text{ è un quadrato perfetto},\\ 0,& \text{altrimenti}.\end{array}$

La funzione di Liouville è collegata alla funzione zeta di Riemann dalla seguente formula:

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}.$

La serie di Lambert per la funzione di Liouville è

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{1}{2}({\vartheta }_3(q)-1),$

con la somma a sinistra che è un caso particolare della funzione theta di Ramanujan e ${\vartheta }_3(q)$ è una delle funzione theta di Jacobi.

La funzione di Liouville è correlata alla funzione di Möbius dalla seguente identità:

$\lambda (n)=\sum _{d^2|n}\mu \left(\frac{n}{d^2}\right).$

Congetture

Pólya congetturò che

$L(n)=\sum _{k=1}^n\lambda (k)\le 0,$

per $n>1$ (congettura di Pólya). Ciò si rivelò essere falso essendo $n=906150257$ un controesempio (trovato da Minoru Tanaka nel 1980). Non è noto se $L(n)$ cambi segno infinite volte. Inoltre, definendo

$M(n)=\sum _{k=1}^n\frac{\lambda (k)}{k}$

si congetturava che $M(n)\ge 0$ per $n$ sufficientemente grande (questa congettura è a volte attribuita impropriamente a Pál Turán). Ciò fu confutato da Haselgrove nel 1958, che dimostrò che $M(n)$ assume valori negativi un numero infinito di volte. La conferma di questa congettura avrebbe condotto a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann, come è stato mostrato da Pál Turán.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.12).
• Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
• Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
• Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
• M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).

Collegamenti esterni

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