Carattere di Dirichlet

In matematica, un carattere di Dirichlet modulo q è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa che estende a tutti i naturali un carattere del gruppo delle unità di Z/qZ. Più precisamente, dato un intero positivo q, una funzione aritmetica χ(n) si dice essere un carattere modulo q se esiste un omomorfismo f dal gruppo degli invertibili di Z/qZ negli invertibili di C tale che

$\chi \left(n\right)=\{\begin{array}{cc}0& \text{se}(n,q)>1,\\ f\left(n\right)& \text{altrimenti.}\end{array}$

Se come funzione f si prende la funzione costantemente uguale a 1, allora il carattere χ₁ associato ad f è detto carattere principale modulo q.

Se un carattere di Dirichlet modulo q si può scrivere come prodotto di un carattere modulo un intero k strettamente minore di q (che dovrà necessariamente essere un divisore di q) e il carattere principale modulo q, allora esso verrà detto non primitivo. I caratteri che non sono non primitivi, sono detti primitivi.

Proprietà elementari

Dato che per ogni intero positivo q vi sono esattamente φ(q) caratteri di Z/qZ, si ha che lo stesso vale per i caratteri di Dirichlet modulo q. Inoltre, dalla definizione discende subito che essi sono completamente moltiplicativi, periodici di periodo q e che hanno immagine nell'insieme comprendente 0 e le radici φ(q)-esime dell'unità.

Dato un carattere di Dirichlet $\chi$, si può definire il suo carattere coniugato $\bar{\chi }$, definendolo semplicemente come

$\bar{\chi }(n)=\overline{\chi (n)}.$

Chiaramente, se $\chi$ è un carattere di Dirichlet modulo q, anche $\bar{\chi }$ lo è.

Un'altra importante proprietà dei caratteri di Dirichlet è la seguente: se χ è un carattere modulo q, allora per ogni coppia di interi m ed n con n e q coprimi si ha

$\sum _{\chi \text{ mod }q}\chi (m)\bar{\chi }(n)=\{\begin{array}{cc}\phi (q)& \text{se }m\equiv n\text{ mod }q,\\ 0& \text{altrimenti,}\end{array}$

ove la somma è su tutti i caratteri modulo q.

Bibliografia

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Voci correlate

• Teoria dei caratteri
• Funzione L di Dirichlet