Simbolo di Legendre

Il simbolo di Legendre è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri, e in particolare nei campi della fattorizzazione e dei residui quadratici. Esso prende il nome dal matematico francese Adrien-Marie Legendre.

Definizione

Il simbolo di Legendre è definito come segue:

Se $p$ è un numero primo dispari e $a$ è un intero, allora il simbolo di Legendre $(\frac{a}{p})$ è uguale a:

$0$ se $p$ divide $a$ ;
$1$ se $a$ è un quadrato modulo $p$ , ossia se esiste un intero $k$ tale che $k^{2} \equiv a (\mod p)$ , o equivalentemente se $a$ è un residuo quadratico modulo $p$ ;
$- 1$ se $a$ non è un quadrato modulo $p$ , cioè se $a$ non è un residuo quadratico modulo $p$ .

La generalizzazione del simbolo di Legendre a $(\frac{a}{n})$ con $n \in ℕ$ dispari è il simbolo di Jacobi.

Il simbolo di Legendre possiede un certo numero di proprietà che consentono di velocizzare i calcoli. Le più importanti sono:

$(\frac{a b}{p}) = (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$ (cioè è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore)
Se a ≡ b (mod p), allora $(\frac{a}{p}) = (\frac{b}{p})$
$(\frac{1}{p}) = 1$
$(\frac{- 1}{p}) = (- 1)^{(\frac{p - 1}{2})}$ , cioè 1 se p ≡ 1 (mod 4) e −1 se p ≡ 3 (mod 4)
$(\frac{2}{p}) = (- 1)^{(\frac{p^{2} - 1}{8})}$ , cioè 1 se p ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se p ≡ 3 o 5 (mod 8)
Se q è un primo dispari, allora $(\frac{q}{p}) = (\frac{p}{q}) (- 1)^{(\frac{p - 1}{2}) (\frac{q - 1}{2})}$

L'ultima proprietà prende il nome di legge di reciprocità quadratica.

Il simbolo di Legendre è inoltre collegato al criterio di Eulero, dimostrato da Leonardo Eulero:

(\frac{a}{p}) \equiv a^{(\frac{p - 1}{2})} (\mod p)

Infine, il simbolo di Legendre è un carattere di Dirichlet, detto anche il carattere quadratico modulo p.

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che ammette come argomento un numero dispari composto al posto del primo p.

Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 9.2)
H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo III.3