Matrice definita positiva

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata $A$ tale che, detto ${𝐱}^{*}$ il trasposto complesso coniugato di $𝐱$, si verifica che la parte reale di ${𝐱}^{*}A𝐱$ è positiva per ogni vettore complesso $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$.

Definizione

Nonostante la definizione si utilizzi solitamente nel caso di matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice $A$ quadrata (di dimensioni $n\times n$) si dice definita positiva quando:

$\mathrm{R}\mathrm{e}({𝐱}^{*}A𝐱)>0,\mathrm{\forall }𝐱\in {ℂ}^n-\{\mathrm{𝟎}\},$

ossia quando il prodotto ${𝐱}^{*}A𝐱$, che è sempre un numero complesso, ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo $𝐱\in {ℂ}^n$ (indicando con ${𝐱}^{*}$ il vettore complesso coniugato trasposto del vettore $𝐱$).

In modo equivalente, una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana:

$A_H=\frac{(A+A^{*})}{2}$

è definita positiva, ossia $\mathrm{R}\mathrm{e}({𝐱}^{*}{A}_H𝐱)>0,$ per $𝐱\in {ℂ}^n-\{\mathrm{𝟎}\}$.

Un'altra definizione è la seguente: una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana $A_H$ sono strettamente positivi.

Matrici hermitiane

Una matrice simmetrica reale è anche hermitiana, ed una matrice hermitiana $M$ di dimensione $n\times n$ è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):

• Per tutti i vettori non nulli $𝐳$ in ${ℂ}^n$ si ha ${𝐳}^{*}M𝐳>0$, dove $𝐳$ è visto come un vettore colonna con $n$ componenti complesse e ${𝐳}^{*}$ come la complessa coniugata della sua trasposta. Se $M$ è hermitiana, ${𝐳}^{*}M𝐳$ è sempre reale, ed ha quindi senso chiedere che sia positivo.
• Per tutti i vettori non nulli $𝐱$ in ${ℝ}^n$ si ha ${𝐱}^{T}M𝐱>0$, dove ${𝐱}^T$ denota la trasposta del vettore colonna $𝐱$.
• Per tutti i vettori non nulli $𝐮$ in ${\mathbb{Z}}^n$ (tutte le componenti sono intere), si ha ${𝐮}^{T}M𝐮>0$.
• Tutti gli autovalori di $M$ sono numeri reali positivi.
• La forma hermitiana $⟨𝐱,𝐲⟩={𝐱}^{*}M𝐲$ definisce un prodotto hermitiano definito positivo su ${ℂ}^n$.
• Criterio di Sylvester: tutte le sottomatrici quadrate superiori sinistre hanno determinante positivo (i minori principali secondo l'ordine da $1$ a $n$). Altrimenti detto, tutti i determinanti delle matrici Nord-Ovest sono positivi non nulli.

Proprietà

Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.

• Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
• Ogni matrice simmetrica semidefinita positiva ha tutti gli autovalori non negativi.
• Ogni matrice simmetrica definita negativa ha tutti gli autovalori strettamente negativi.
• Ogni matrice simmetrica semidefinita negativa ha tutti gli autovalori non positivi.
• Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.
• Se $M$ è definita positiva e $r>0$ è un numero reale, allora $rM$ è definita positiva.
• Se $M$ e $N$ sono definite positive, allora $M+N$ è anch'essa definita positiva; se inoltre $MN=NM$, cioè le matrici commutano, allora $MN$ è anch'essa definita positiva.
• Ogni matrice definita positiva $M$ ha una radice quadrata, cioè una matrice $N$ tale che $NN=M$. Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.
• Se la matrice che stiamo considerando è simmetrica reale essa è definita positiva se la sua segnatura è $(n,0)$ dove $n$ è il rango della matrice.
• Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali di guida sono tutti positivi.

Matrici definite negative, semidefinite e indefinite

La matrice hermitiana $M$ si dice definita negativa se:

${𝐱}^{*}M𝐱<0,$

per tutti gli elementi non nulli $𝐱$ in ${ℝ}^n$ (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli $𝐱$ in ${ℂ}^n$).

La matrice $M$ è chiamata semidefinita positiva se:

${𝐱}^{*}M𝐱\ge 0.$

Per tutti gli $𝐱$ in ${ℝ}^n$ (o ${ℂ}^n$) si dice invece semidefinita negativa se:

${𝐱}^{*}M𝐱\le 0,$

per tutti gli $𝐱$ in ${ℝ}^n$ (o ${ℂ}^n$). Come sopra, ${𝐱}^{*}$ indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui $𝐱$ sia un vettore in ${ℝ}^n$, questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere ${𝐱}^T$ al posto di ${𝐱}^{*}$.

Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.

Prodotti scalari e forme hermitiane

Template:Vedi anche Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza. Sia $K$ un campo $ℝ$ o $ℂ$, $V$ uno spazio vettoriale su $K$, e $B:V\times V\to K$ una forma hermitiana se $K=ℂ$ o un prodotto scalare se $K=ℝ$. La forma $B$ è chiamata definita positiva se $B(𝐱,𝐱)>0$ per ogni $𝐱$ in $V$ diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a $V$ una struttura simile a quella dello spazio euclideo.

Forme quadratiche

Template:Vedi anche La forma quadratica associata ad una matrice reale $M$ è la funzione $Q:{ℝ}^n\to ℝ$ tale che $Q(𝐱)={𝐱}^{T}M𝐱$ per tutti gli $𝐱$. La matrice $M$ è definita positiva se e solo se è simmetrica e la sua forma quadratica è una funzione strettamente convessa.

Più in generale, ogni polinomio di secondo grado $P:{ℝ}^n\to ℝ$ può essere scritto come ${𝐱}^{T}M𝐱+{𝐱}^T𝐛+c$, dove $M$ è una matrice simmetrica $n\times n$, $𝐛$ è un vettore reale e $c$ una costante. La funzione $P$ è strettamente convessa se $M$ è definita positiva.

Diagonalizzazione simultanea

Una matrice simmetrica e una matrice simmetrica definita positiva possono essere simultaneamente diagonalizzate, anche se non necessariamente per mezzo di una trasformazione per similitudine, ed il risultato non si estende al caso di tre o più matrici. Nello specifico, se $M$ è simmetrica e $N$ è simmetrica e definita positiva, la generica equazione agli autovalori è:

$(M-\lambda N)𝐱=\mathrm{𝟎}.$

Tramite la decomposizione di Cholesky è possibile scrivere l'inversa di $N$ come $Q^{T}Q$, con $Q$ che in particolare è invertibile in quanto lo è $N$. Moltiplicando per $Q$ e ponendo $𝐱=Q^T𝐲$ si ottiene:

$Q(M-\lambda N)Q^T𝐲=\mathrm{𝟎}$

che, siccome $QN{Q}^T=I$, può essere riscritta come:

$(QM{Q}^T)𝐲=\lambda 𝐲.$

Essendo $QM{Q}^T$ simmetrica, dal teorema spettrale esiste una matrice $Y$ tale che $(QM{Q}^T)Y=Y\mathrm{\Lambda }$ e $Y^{T}Y=I$, dove $\mathrm{\Lambda }$ è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori generalizzati e le colonne di $Y$ sono una base ortonormale di autovettori di $QM{Q}^T$. Per la sostituzione fatta in precedenza si ha quindi che, ponendo $X=Q^{T}Y$, le colonne di $X$ soddisfano l'equazione $(M-\lambda N)𝐱=\mathrm{𝟎}$ (cioè sono gli autovalori generalizzati) e $Y=QNX$. Si trova allora che $X^{T}NX=I$ e $QMX=(QM{Q}^T)(QNX)=(QNX)\mathrm{\Lambda }$. Dall'ultima relazione si deduce che:

$MX=NX\mathrm{\Lambda },X^{T}NX=I.$

Moltiplicando per $X^T$si ottiene:

$X^{T}MX=\mathrm{\Lambda },X^{T}NX=I,$

anche se non si tratta più di una diagonalizzazione ortogonale rispetto al prodotto scalare canonico (infatti $X$ non è in generale una matrice ortogonale).

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En Rajendra Bhatia. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0-691-12918-1.
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• Template:En Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1106, 2000.

Voci correlate

• Forma quadratica
• Forma sesquilineare
• Funzione definita positiva
• Matrice hermitiana
• Matrice simmetrica
• Prodotto scalare

Collegamenti esterni

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