Similitudine tra matrici

In algebra lineare, la similitudine tra matrici è un'importante relazione di equivalenza, che induce una partizione dell'insieme $M(n,K)$ di tutte le matrici quadrate con $n$ righe e colonne a valori in un campo $K$. In particolare, nella teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse. Quindi ad ogni endomorfismo si può associare una classe di equivalenza di matrici simili.

Due matrici simili hanno gli stessi autovalori, rango, determinante e traccia. Non vale però il contrario: due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante, lo stesso rango e lo stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente simili.

Definizione

Due matrici quadrate $A$ e $B$ sono simili quando esiste una matrice invertibile $M$ tale che:

$A=M^{-1}BM$

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a loro stesse.

Invarianti per similitudine

Due matrici simili hanno lo stesso rango, determinante e traccia. Si dice quindi che rango, determinante e traccia sono invarianti per similitudine.

La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il teorema di Binet:

$\det (M^{-1}BM)=\det (M^{-1})\cdot \det B\cdot \det M=$

$(\det M{)}^{-1}\cdot \det B\cdot \det M=\det B\cdot (\det M{)}^{-1}\cdot \det M=\det B$

Due matrici simili hanno inoltre lo stesso polinomio caratteristico e lo stesso polinomio minimo. Infatti, dalla definizione si ha che $A=P^{-1}\cdot B\cdot P$, da cui si ricava il polinomio caratteristico:

${\mathrm{\Delta }}_A(\lambda )=|\lambda I-A|=|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|$

e dal momento che $\lambda$ è uno scalare si può moltiplicare a sinistra e a destra di $\lambda I$ per $P^{-1}$ e per $P$. Infatti:

$\lambda I=\lambda P^{-1}\cdot I\cdot P=P^{-1}\cdot \lambda I\cdot P$

Si ha quindi che:

$|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}\cdot \lambda I\cdot P-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}(\lambda I-B)P|=|P^{-1}|\cdot |(\lambda I-B)|\cdot |P|$

da cui $|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$.

Questo fatto comporta che due matrici simili abbiano anche gli stessi autovalori, infatti se $\lambda$ è un autovalore della matrice $A$, ed $A$ è simile a $B$, si ha:

$Ax=\lambda x{M}^{-1}BMx=\lambda x$

per qualche vettore $x$ diverso da zero. Moltiplicando entrambi i membri della seconda uguaglianza a sinistra per $M$ si ottiene:

$B(Mx)=\lambda (Mx)$

per cui $\lambda$ è anche autovalore di $B$ con autovettore $Mx$.

Due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico non sono tuttavia necessariamente simili. Ad esempio:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$

non sono matrici simili.

Relazione con gli endomorfismi

Template:Vedi anche La relazione di similitudine fra matrici è usata soprattutto per la sua stretta relazione con la teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, riassunta nell'asserzione seguente: sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le matrici associate a $T$ rispetto a due basi diverse dello spazio sono simili.

Una matrice simile ad una matrice diagonale si dice diagonalizzabile. Lo studio della diagonalizzabilità di una matrice è un problema centrale in algebra lineare. Non tutte le matrici sono diagonalizzabili, ed a tal proposito sui campi reale e complesso la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata $A$ definisce una matrice triangolare $J$ simile ad $A$ che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. In particolare, la matrice è diagonale se e solo se $A$ è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.

Particolare importanza riveste il caso in cui la matrice invertibile che definisce la relazione di similitudine è una matrice unitaria. Due matrici $A$ e $B$ sono unitariamente equivalenti se sono simili rispetto ad una matrice unitaria $U$, ovvero $A=UB{U}^{†}$. Ad esempio, le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali, e le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Bibliografia

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• Template:En Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.

Voci correlate

• Congruenza fra matrici
• Diagonalizzabilità
• Forma di Jordan
• Equivalenza sinistra-destra fra matrici
• Matrice di cambiamento di base

Collegamenti esterni

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