Segnatura (algebra lineare)

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la segnatura è una terna di numeri che corrispondono al numero di autovalori di una matrice simmetrica (o di un prodotto scalare associato).

La segnatura è utile a determinare le proprietà essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura $(n,0,0)$, mentre lo spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relatività) ha segnatura $(3,1,0)$ oppure $(1,3,0)$, a seconda delle convenzioni.

Definizione

Sia $A$ una matrice simmetrica reale (cioè i cui valori sono numeri reali). La segnatura $(i_{+},i_{-},i_0)$ di $A$ è una terna di numeri naturali definita nel modo seguente: i valori $i_{+},i_{-}$ e $i_0$ sono rispettivamente il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di $A$, ciascuno è contato con la sua molteplicità algebrica.

Se $\varphi$ è un prodotto scalare su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita, la segnatura di $\varphi$ è definita come la segnatura della matrice che rappresenta $\varphi$ rispetto ad una qualsiasi base.

Notazioni alternative

Nei casi in cui $i_0=0$, vengono spesso usate notazioni differenti per la segnatura. Innanzitutto, il termine $i_0$ è omesso, e si parla di segnatura come coppia $(i_{+},i_{-})$ di numeri. In alternativa, la segnatura è descritta scrivendo i segni "$+$" e "$-$" rispettivamente $i_{+}$ e $i_{-}$ volte. Quindi si scrive $(+,+,-)$ per $(2,1)$, cioè $(2,1,0)$, e $(+,-,-,-)$ per $(1,3)$, cioè $(1,3,0)$. Queste sono le notazioni usate ad esempio nella relatività ristretta e generale. Oppure si può usare anche un singolo numero $s:=i_{+}-i_{-}$.

Proprietà

Teorema spettrale

Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica reale $A_{n\times n}$ è diagonalizzabile. In particolare, ha esattamente $n$ autovalori reali (contati con molteplicità). Quindi $i_{+}+i_{-}+i_0=n$.

Teorema di Sylvester

Per il teorema di Sylvester, due prodotti scalari sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura. Quindi la segnatura è un invariante completo per i prodotti scalari, visti a meno di isometria. Analogamente, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.

Interpretazione geometrica degli indici

I valori $i_{+},i_{-}$ e $i_0$ sono detti indice di positività, negatività e nullità. L'indice di nullità è la dimensione del radicale di $\varphi$, oppure del nucleo di $A$. Quindi un prodotto scalare non degenere ha segnatura $(i_{+},i_{-},0)$.

Gli indici $i_{+}$ e $i_{-}$ sono la massima dimensione di un sottospazio su cui il prodotto scalare è rispettivamente definito positivo o negativo.

Esempi

Matrici

La segnatura della matrice identità $n\times n$ è $(n,0,0)$. Più in generale, la segnatura di una matrice diagonale è la terna formata dal numero di elementi positivi, negativi e nulli sulla diagonale principale.

Le matrici seguenti hanno entrambe segnatura $(1,1,0)$, e sono quindi congruenti per il teorema di Sylvester:

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Prodotti scalari

Il prodotto scalare standard in ${ℝ}^n$ ha segnatura $(n,0,0)$. Un prodotto scalare ha questa segnatura se e solo se è definito positivo.

Un prodotto scalare definito negativo ha segnatura $(0,n,0)$. Un prodotto scalare semidefinito positivo ha segnatura $(n,0,m)$, ed uno semidefinito negativo $(0,n,m)$.

Lo spazio-tempo di Minkowski è ${ℝ}^4$ con il prodotto scalare definito dalla matrice:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

ed ha quindi segnatura $(1,3,0)$. Alcuni autori usano la matrice con i segni opposti, ottenendo la segnatura $(3,1,0)$.

Calcolo della segnatura

Per calcolare la segnatura di una matrice (simmetrica) sono disponibili alcune tecniche.

• Poiché il polinomio caratteristico ha tutte le radici reali, il loro segno può essere determinato con la regola dei segni di Cartesio.
• L'algoritmo di Lagrange fornisce un metodo per calcolare una base ortogonale, e quindi per calcolare una matrice diagonale congruente (e quindi con la stessa segnatura) a quella data: la segnatura di una matrice diagonale si ottiene quindi contando i segni dei valori sulla diagonale.
• Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i determinanti dei suoi minori principali sono tutti positivi.

Bibliografia

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Voci correlate

• Congruenza fra matrici
• Forma sesquilineare
• Matrice simmetrica
• Prodotto scalare
• Teorema di Sylvester
• Teorema spettrale

Collegamenti esterni

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