Numero complesso iperbolico

In matematica, i numeri complessi iperbolici (o numeri complessi spezzati) sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento non reale, usualmente indicato con il simbolo $\epsilon$, e detto unità immaginaria iperbolica, il cui quadrato è uguale a $1$. I numeri complessi iperbolici presentano numerose analogie con gli ordinari numeri complessi; a differenza di questi, però, non costituiscono un campo, ma solamente un anello.

I numeri complessi iperbolici furono introdotti nel 1848 da James Cockle, e utilizzati da William Clifford per rappresentare la somma di rotazioni. A partire dal XX secolo sono stati utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz all'interno della relatività ristretta.

Algebra dei complessi iperbolici

Un numero complesso iperbolico può essere espresso nella forma:

$z=a+b\epsilon$,

dove $a$ e $b$ sono numeri reali, e vale la relazione:

${\epsilon }^2=1$.

Sui numeri complessi è possibile eseguire le normali operazioni algebriche, considerando $\epsilon$ come una variabile, e avendo cura di eseguire la sostituzione ${\epsilon }^2=1$ (o, più in generale, ${\epsilon }^{2n}=1$ per ogni potenza pari dell'unità immaginaria iperbolica, e ${\epsilon }^{2n+1}=\epsilon$ per ogni potenza dispari). È quindi possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri complessi iperbolici $z_1=a_1+b_1\epsilon$ e $z_2=a_2+b_2\epsilon$:

$\begin{array}{ccc}{z}_1+z_2& =& (a_1+a_2)+(b_1+b_2)\epsilon \\ z_1{z}_2& =& (a_1{a}_2+b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)\epsilon \end{array}$

L'inverso moltiplicativo del numero $a+b\epsilon$ è:

${(a+b\epsilon )}^{-1}=\frac{a-b\epsilon }{a^2-b^2}$,

ed è definito solamente se $a^2-b^2\ne 0$, per cui i numeri complessi iperbolici non formano un campo.

I complessi iperbolici come anello quoziente

È possibile definire i numeri iperbolici come gli elementi dell'anello quoziente

$\frac{ℝ[X]}{(X^2-1)}$,

dove $ℝ[X]$ è l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali, e in $(X^2-1)$ è l'ideale generato dal polinomio $X^2-1$. Questo ideale non è massimale, perché è contenuto nei due ideali $(X-1)$ e $(X+1)$, pertanto l'anello dei numeri complessi iperbolici non è un campo. Inoltre, le operazioni di somma e prodotto sono continue rispetto all'usuale topologia del piano, per cui l'anello è anche un anello topologico.

Definendo l'operazione di prodotto per uno scalare $\alpha \in ℝ$:

$\alpha (a+b\epsilon )=\alpha a+\alpha b\epsilon$,

i numeri complessi iperbolici formano una algebra associativa e commutativa dotata di unità, di dimensione $2$. Questa algebra è anche un'algebra di Clifford, dotata di una forma quadratica definita positiva.

Metrica

I numeri iperbolici complessi possono essere rappresentati sul piano reale, analogamente agli usuali numeri complessi; questo piano tuttavia non possiede la metrica euclidea: definiamo il coniugato del numero $z=x+y\epsilon$ come $z^{*}=x-y\epsilon$. Il modulo di un numero complesso iperbolico è allora definito come:

$|z|=z{z}^{*}=x^2-y^2$.

La metrica così definita ha segnatura $(1,-1)$ e dota i numeri complessi iperbolici della struttura di spazio di Minkowski, ed è conservata dalla moltiplicazione:

$\Vert zw\Vert =\Vert z\Vert \Vert w\Vert .$.

È anche possibile definire un equivalente della formula di Eulero:

$\exp (\epsilon \theta )=\cosh (\theta )+\epsilon \sinh (\theta )$.

I numeri della forma $\exp (\epsilon \theta )$ hanno modulo uguale a $1$ secondo la metrica appena definita, e giacciono sull'iperbole equilatera di equazione:

$x^2-y^2=1$.

Questa iperbole svolge sul piano iperbolico un ruolo analogo a quello della circonferenza unitaria sul piano complesso. La moltiplicazione per $\exp (\epsilon \theta )$ conserva la norma, e corrisponde ad una rotazione iperbolica, ovvero ad una trasformazione di Lorentz.

È anche possibile definire il prodotto scalare come:

$⟨z_1,z_2⟩=⟨a_1+b_1\epsilon ,a_2+b_2\epsilon ⟩=\mathrm{R}\mathrm{e}\left(z_1{z}_2^{*}\right)=\mathrm{R}\mathrm{e}\left(z_1^{*}{z}_2\right)=a_1{a}_2-b_1{b}_2$.

Rappresentazione matriciale

Le proprietà algebriche dell'unita immaginaria $\epsilon$ sono esprimibili dalla matrice:

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$

In generale, il numero complesso iperbolico $a+b\epsilon$ è rappresentato dalla matrice

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right).$

Le usuali operazioni di somma e moltiplicazione tra matrici coincidono con la somma e il prodotto definiti sopra. L'operazione di coniugazione corrisponde alla moltiplicazione da ambo i lati per la matrice:

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

La rotazione iperbolica corrisponde alla moltiplicazione per la matrice:

$\left(\begin{array}{cc}\cosh \theta & \sinh \theta \\ \sinh \theta & \cosh \theta \end{array}\right).$

La base diagonale

L'unità reale $1$ e quella immaginaria $\epsilon$ costituiscono una base per il piano complesso iperbolico; è possibile tuttavia utilizzare altre basi mediante opportuni cambi di coordinate. Una base particolarmente utilizzata è quella costituita dai due elementi idempotenti non banali:

$\begin{array}{ccc}e& =& \frac{1-\epsilon }{2}\\ e^{*}& =& \frac{1+\epsilon }{2}\end{array}$

La base formata da $e$ ed $e^{*}$ è detta base diagonale o base nulla, in quanto i suoi componenti hanno modulo nullo. La trasformazione delle coordinate da una base all'altra è data dalla seguente formula:

$z=a+b\epsilon =(a-b)e+(a+b)e^{*}$.

Alcune operazioni tra numeri complessi iperbolici hanno una espressione molto più semplice nella base diagonale; dati i numeri $z_1=x_{1}e+y_1{e}^{*}$ e $z_2=x_{2}e+y_2{e}^{*}$ valgono le seguenti:

• moltiplicazione: $z_1{z}_2=(x_1{x}_2)e+(y_1{y}_2)e^{*}$;
• coniugazione: $z_1^{*}=y_{1}e+x_1{e}^{*}$;
• modulo: $\Vert z_1\Vert =x_1{y}_1$.

Voci correlate

• Numero complesso
• Numero duale
• Spazio iperbolico
• Isometria dello spazio iperbolico

Collegamenti esterni

• Template:En Template:Cita web, introduzione ai motori algebrici