Idempotenza
Template:F In informatica, in matematica, e in particolare in algebra, lTemplate:'idempotenza è una proprietà delle funzioni per la quale applicando molteplici volte una funzione data, il risultato ottenuto è uguale a quello derivante dall'applicazione della funzione un'unica volta.
In particolare può caratterizzare endofunzioni, ovvero operazioni unarie, operazioni binarie ed elementi di strutture algebriche dotate di un'operazione binaria, cioè elementi di magmi e di loro arricchimenti (in particolare di anelli e di algebre).
Definizione
Un'operazione unaria idempotente entro un certo insieme è una funzione del tipo:
Ogni endofunzione idempotente entro un qualsiasi insieme è un'unione funzionale di collassi. In particolare trasformazioni lineari idempotenti di uno spazio vettoriale sono i proiettori sopra i sottospazi di .
Un'operazione binaria idempotente entro un certo insieme è una funzione del tipo:
Esempi di operazioni binarie idempotenti sono l'unione e la intersezione di insiemi, le operazioni logiche di AND e OR, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di interi positivi, le operazioni di giunzione o estremo superiore (sup) e di incontro o estremo inferiore (inf) di un reticolo o di un semireticolo.
Si osserva che la nozione di endofunzione idempotente si riconduce a quella di operazione binaria idempotente relativa al caso particolare dell'operazione di composizione di endofunzioni.
Se è una struttura algebrica avente come insieme sostegno e operazione binaria, si dice elemento idempotente della struttura ogni tale che . In particolare nell'algebra delle matrici sopra un generico campo sono elementi idempotenti le matrici quadrate diagonali aventi tutte le entrate della diagonale principale uguali a o (si osserva che esse costituiscono rappresentazioni di proiettori). Tra le matrici sui reali e sui complessi sono idempotenti anche le matrici quadrate aventi autovalori soltanto e . Nell'algebra delle relazioni sono idempotenti le relazioni di equivalenza.
Idempotenza in informatica
Il termine idempotenza viene usato in accezioni corrispondenti a quella matematica riportata qui sopra, applicato a "funzioni" in senso informatico (ovvero subroutine che producono un valore di ritorno). Lo stesso termine viene usato anche in senso più lato per riferirsi a funzioni prive di effetti collaterali. In questo senso, una funzione è idempotente se non vi è alcuna differenza osservabile fra l'effetto di una singola attivazione della funzione e di N sue attivazioni consecutive effettuate con input identico.