Numero duale

In algebra lineare, i numeri duali sono un'estensione dei numeri reali, introdotti nel XIX secolo da William Clifford, ottenuta aggiungendo a essi un elemento caratterizzato dalla proprietà di essere nilpotente, ovvero tale che il suo quadrato è pari a zero. I numeri duali, nonostante non possiedano le proprietà di un campo, costituiscono un insieme con proprietà complementari a quelle dei numeri complessi. Essi trovano diverse applicazioni in fisica, sia nelle teorie classiche, sia in quelle riguardanti la relatività einsteiniana e la fisica delle particelle.

Algebra dei numeri duali

Indicato con $\epsilon$ l'elemento nilpotente, ogni numero duale può quindi essere scritto nella forma:

$z=a+b\epsilon$,

dove $a$ e $b$ sono numeri reali, e vale la relazione

${\epsilon }^2=0$.

L'elemento $\epsilon$ ha una funzione analoga all'unità immaginaria dei numeri complessi, e spesso viene definito anch'esso unità immaginaria.

In generale, è possibile eseguire le normali operazioni algebriche sui numeri duali, considerando $\epsilon$ come una variabile e avendo cura di sostituire ${\epsilon }^n$ con 0 quando $n\ge 2$. È così possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri duali $z_1=a_1+b_1\epsilon$ e $z_2=a_2+b_2\epsilon$:

$\begin{array}{ccc}{z}_1+z_2& =& (a_1+a_2)+(b_1+b_2)\epsilon \\ z_1{z}_2& =& \left(a_1{a}_2\right)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)\epsilon .\end{array}$

Con le operazioni sopra descritte, i numeri duali formano un'algebra associativa e commutativa dotata di unità.

Divisione

L'operazione di divisione tra due numeri duali è definita come moltiplicazione per l'inverso moltiplicativo del divisore; analogamente ai numeri complessi, è possibile eseguire la divisione moltiplicando dividendo e divisore per il coniugato del divisore:

$\frac{a+b\epsilon }{c+d\epsilon }=\frac{(a+b\epsilon )(c-d\epsilon )}{(c+d\epsilon )(c-d\epsilon )}=\frac{ac-ad\epsilon +cb\epsilon -bd{\epsilon }^2}{(c^2+cd\epsilon -cd\epsilon -d^2{\epsilon }^2)}=\frac{ac-ad\epsilon +cb\epsilon -0}{c^2+0}=\frac{ac+\epsilon (cb-ad)}{c^2}=\frac{a}{c}+\frac{cb-ad}{c^2}\epsilon .$

La divisione è definita per $c\ne 0$, per cui tutti i duali privi di parte reale non sono invertibili e i numeri duali non costituiscono un campo.

Calcolo numerico delle derivate

L'unità immaginaria dei numeri duali ha proprietà analoghe agli infinitesimi utilizzati nell'analisi non standard, i cui quadrati hanno valore "quasi" nullo (più precisamente, sono infinitesimi di ordine superiore). Questa caratteristiche hanno interessanti applicazioni nella definizione dei polinomi su numeri duali: dato il polinomio $P(z)=\sum _{k=0}^n{p}_k{z}^k$, è possibile scrivere il suo sviluppo di Taylor, centrato nel punto $a+b\epsilon$; questo sviluppo è troncato al secondo termine, in quanto tutti i termini successivi contengono potenze dell'unità immaginaria superiori a uno:

$P(a+b\epsilon )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{P}^{(k)}(a)\frac{(b\epsilon {)}^k}{k!}=P(a)+P^{\prime }(a)b\epsilon$.

Dalla formula sopra segue che conoscendo il valore del polinomio in un determinato numero duale, è possibile conoscere il valore della derivata del polinomio, calcolato sulla parte reale. È anche possibile generalizzare questa formula utilizzandola per definire le funzioni trascendenti sui numeri duali:

$f(a+b\epsilon )=f(a)+b{f}^{\prime }(a)\epsilon$.

Rappresentazioni

Rappresentazione matriciale

I numeri duali sono identificabili con le matrici reali $2\times 2$ della forma:

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right),$

che rappresenta il numero $a+b\epsilon$.

In questo modo, le usuali operazioni di somma e prodotto tra matrici coincidono con la somma e il prodotto di numeri duali; l'elemento nilpotente è dato dalla matrice

$\epsilon =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$

Rappresentazione polare

È possibile definire il modulo di un numero duale come:

$|z{|}^2=z{z}^{*}=(a+\epsilon b)(a-\epsilon b)=a^2-{\epsilon }^2{b}^2=a^2$.

La circonferenza unitaria è allora costituita dalle rette di equazione $a=\pm 1$, mentre l'equivalente della formula di Eulero è:

$\exp (b\epsilon )=1+\epsilon b$.

Dato allora il numero $z=a+\epsilon b$, se $a\ne 0$ è possibile scomporlo come:

$z=a(1+\frac{b}{a}\epsilon )$.

I due parametri $a$ e $b/a$ si possono considerare le coordinate polari del numero duale.

Generalizzazioni

La costruzione eseguita può essere generalizzata a qualunque anello commutativo $A$: i numeri duali su $A$ sono gli elementi dell'anello quoziente $A[X]/\left(X^2\right)$, dove $A[X]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $A$ e $\left(X^2\right)$ è l'ideale generato da $X^2$.

L'ideale $\left(X^2\right)$ non è massimale , per cui l'anello dei duali non è mai un campo; l'inverso dell'elemento $a+b\epsilon$ è $a^{-1}-b{a}^{-2}\epsilon$, ed è definito se $a$ è una unità in $A$.

Applicazioni

Trasformazioni di Galileo

In cinematica, le trasformazioni di Galileo possono essere rappresentate mediante i numeri duali: dato il sistema di riferimento $O^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })$, che si muove con velocità relativa $v$ rispetto al sistema di riferimento $O(x,t)$, la trasformazione delle coordinate tra i due sistemi è data dalla matrice del numero duale $1+v\epsilon$:

$(t^{\prime },x^{\prime })=(t,x)\left(\begin{array}{cc}1& v\\ 0& 1\end{array}\right)$,

ovvero:

$\{\begin{array}{ccc}{t}^{\prime }& =& t\\ x^{\prime }& =& vt+x.\end{array}$

Superspazi in fisica

I numeri duali costituiscono un semplice esempio di superspazio, utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche, per descrivere la configurazione spaziale. Ad esempio, nella Supersimmetria la loro componente reale è detta direzione bosonica, quella immaginaria direzione fermionica. Quest'ultima deriva il proprio nome dai fermioni, particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli: con uno scambio di coordinate, la loro funzione d'onda cambia di segno, e considerando entrambe le coordinate, la funzione d'onda si annulla. Questo comportamento può essere sintetizzato nelle proprietà dell'elemento nilpotente.

Bibliografia

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Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Numero complesso iperbolico
• Numero iperreale
• Superspazio

Collegamenti esterni

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