Funzione vettoriale

Immagine della funzione $(2\cos (t),4\sin (t),t)$ nello spazio euclideo tridimensionale

In matematica, una funzione vettoriale è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano ${ℝ}^n$. Una funzione di questo tipo è identificata da una n-upla di funzioni reali f_i(x), in cui ognuna rappresenta la dipendenza dell'i-esima componente del vettore immagine dall'argomento. Il dominio può a sua volta essere a una o più dimensioni.

Ad esempio, una funzione dai reali verso i vettori bidimensionali può essere indicata come:

$𝐟(x)=⟨f_1(x),f_2(x)⟩$

o, utilizzando la notazione dei versori,

$𝐟(x)=f_1(x)\widehat{𝐢}+f_2(x)\widehat{𝐣}$

in cui f₁ e f₂ sono funzioni $ℝ\to ℝ$.

Il dominio di una funzione vettoriale è l'intersezione dei domini delle n funzioni reali.

Derivazione di una funzione vettoriale

Se $𝐟:ℝ\to {ℝ}^n$, si definisce la derivata di una funzione vettoriale esattamente allo stesso modo delle funzioni reali, cioè come il limite del rapporto incrementale:

${𝐟}^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝐟(t+h)-𝐟(t)}{h},$.

Grazie alle proprietà delle operazioni sui vettori, se tale limite esiste esso coincide con il vettore delle derivate delle singole funzioni, cioè ${𝐟}^{\prime }(x)=⟨f{\text{'}}_1(x),f{\text{'}}_2(x),...,f{\text{'}}_n(x)⟩$.

Tutte le proprietà comode della derivazione reale ritornano in quella vettoriale. Notare che in particolare per la linearità della derivata e per la regola del prodotto, questo risultato può essere ricavato anche dalla scrittura di $𝐟$ mediante versori, in quanto la derivata di un versore costante è 0.

Se $𝐟:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, con $n,m>0$, allora si hanno $mn$ derivate parziali, ognuna per ogni combinazione delle $n$ variabili con le $m$ funzioni scalari. L'insieme di queste derivate (se esiste) si indica di solito in una matrice di $m$ righe e $n$ colonne, dove la i-esima riga rappresenta il gradiente della i-esima funzione scalare y_i.

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \cdots & ⋮\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$

detta matrice jacobiana di $𝐟$.

Esempi

• La funzione che dato un numero reale restituisce la sua parte intera e la sua parte frazionaria è una funzione vettoriale.
• Un esempio meno banale e di estrema importanza è la parametrizzazione di una curva nel piano, o meglio nello spazio, a valori quindi in ${ℝ}^3$.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Curva (matematica)
• Derivata
• Funzione di variabile reale
• Funzione differenziabile
• Matrice jacobiana

Collegamenti esterni

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