Disuguaglianza di Hölder

In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi L^p.

La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.

La disuguaglianza

Sia $\mathrm{\Omega }$ uno spazio di misura con misura $\mu$ e $p\ge 1$. Sia $p^{\prime }\ge 1$ l'esponente coniugato di $p$, ovvero quel numero tale che

$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1$

o equivalentemente tale che

$p+p^{\prime }=p{p}^{\prime }$

Si definisce inoltre $p^{\prime }=\mathrm{\infty }$ se $p=1$.

La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili $f\in L^p(\mathrm{\Omega })$ e $g\in L^{p^{\prime }}(\mathrm{\Omega })$, si ha che $fg\in L^1(\mathrm{\Omega })$ e:

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}$

Esplicitando la norma p-esima nel caso $p>1$ si ottiene la scrittura

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|fg|d\mu \le {[\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{|}^{p}d\mu ]}^{\frac{1}{p}}{[\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|g{|}^{p^{\prime }}d\mu ]}^{\frac{1}{p^{\prime }}}$

La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per $p=p^{\prime }=2$. Il numero $p^{\prime }$ è anche detto coniugato di Hölder di $p$.

Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti $a$ e $b$, non entrambe nulle, tali che:

$a|f{|}^p=b|g{|}^{p^{\prime }}$

quasi ovunque in $\mathrm{\Omega }$.

Dimostrazione

Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio $\Vert f{\Vert }_p$) è zero, allora vuol dire che $f=0$ quasi ovunque; dunque anche $fg=0$ quasi ovunque e quindi $\Vert fg{\Vert }_1=0$ e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio $p$) è $+\mathrm{\infty }$, allora è $p^{\prime }=1$ e:

$|fg|\le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}|g|$

quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.

Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:

$\frac{|f(x)|}{\Vert f{\Vert }_p}\cdot \frac{|g(x)|}{\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}}\le \frac{1}{p}{\left(\frac{|f(x)|}{\Vert f{\Vert }_p}\right)}^p+\frac{1}{p^{\prime }}{\left(\frac{|g(x)|}{\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}}\right)}^{p^{\prime }}$

per quasi ogni $x\in \mathrm{\Omega }$. Integrando entrambi i membri si ottiene:

$\frac{1}{\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|fg|d\mu =\frac{\Vert fg{\Vert }_1}{\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}}\le \frac{\Vert f{\Vert }_p^p}{p\Vert f{\Vert }_p^p}+\frac{\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}^{p^{\prime }}}{p^{\prime }\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}^{p^{\prime }}}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1$

Disuguaglianza di Hölder per numeri reali

Nel caso molto particolare dello spazio euclideo ${ℝ}^n$, la disuguaglianza prende la seguente forma:

$\sum _{i=1}^n|x_i{y}_i|\le {(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^{p^{\prime }})}^{\frac{1}{p^{\prime }}}$

Dimostrazione alternativa

Posti:

$a_i=\frac{|x_i|}{{(\sum |x_j{|}^p)}^{\frac{1}{p}}}$

e:

$b_i=\frac{|y_i|}{{(\sum |y_j{|}^{p^{\prime }})}^{\frac{1}{p^{\prime }}}}$

la disuguaglianza è:

$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\le 1$

Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:

$\ln (a_i{b}_i)=\frac{1}{p}\ln \left(a_i^p\right)+\frac{1}{p^{\prime }}\ln \left(b_i^{p^{\prime }}\right)\le \ln (\frac{1}{p}{a}_i^p+\frac{1}{p^{\prime }}{b}_i^{p^{\prime }})$

quindi per monotonia:

$a_i{b}_i\le \frac{1}{p}{a}_i^p+\frac{1}{p^{\prime }}{b}_i^{p^{\prime }}.$

Sommando sull'indice $i,$ poiché $\sum _{i=1}^n{a}_i^p=1$ e $\sum _{i=1}^n{b}_i^{p^{\prime }}=1$, si ottiene la tesi.

Generalizzazione

Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano $f_1,\dots ,f_k$ tali che $f_i\in L^{p_i}$, con:

$\frac{1}{p}=\sum _{i=1}^k\frac{1}{p_i}\le 1$

Allora:

$f=f_1{f}_2\dots f_k\in L^p$

e si ha:

$\Vert f{\Vert }_p\le \Vert f_1{\Vert }_{p_1}\Vert f_2{\Vert }_{p_2}\dots \Vert f_k{\Vert }_{p_k}$

Generalizzazione nei numeri reali

Siano $(a_{11},\dots ,a_{1n}),(a_{21},\dots ,a_{2n}),\dots ,(a_{m1},\dots ,a_{mn})$ m n-uple di numeri reali e siano $p_1,\dots ,p_m$ dei reali tali che:

$\frac{1}{p_1}+\dots +\frac{1}{p_m}=1$

Allora:

$(\sum _{i=1}^n{a}_{1i}\cdot \dots \cdot a_{mi})\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_{1i}^{p_1}\right)}^{\frac{1}{p_1}}\cdot \dots \cdot {\left(\sum _{i=1}^n{a}_{mi}^{p_m}\right)}^{\frac{1}{p_m}}$

Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi $L^p$, la disuguaglianza di interpolazione. Se:

$f\in L^p\cap L^q$

allora $f\in L^r$ per ogni $p\le r\le q$ e:

$\Vert f{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p^{\alpha }\Vert f{\Vert }_q^{1-\alpha }$

con $\alpha \in [0,1]$ tale che:

$\frac{1}{r}=\frac{\alpha }{p}+\frac{1-\alpha }{q}$

Bibliografia

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• Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
• Disuguaglianza di Young
• Disuguaglianza di Minkowski
• Disuguaglianza triangolare
• Spazio Lp

Collegamenti esterni

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