Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz o disuguaglianza di Bunyakovsky, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.

Proposta inizialmente da Augustin-Louis Cauchy, la formulazione integrale della disuguaglianza è dovuta a Viktor Bunyakovsky (1859), e si può trovare anche nei lavori di Hermann Amandus Schwarz a partire dal 1884.

Negli spazi L^p la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza

Sia $V$ uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:

$|⟨𝐱,𝐲⟩|\le \Vert 𝐱\Vert \cdot \Vert 𝐲\Vert \mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in V,$

con l'uguaglianza che sussiste se e solo se $𝐱$ e $𝐲$ sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).

In forma integrale:

${|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx|}^2\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{2}dx\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}|g(x){|}^{2}dx,$

con $f$ e $g$ funzioni quadrato sommabile in $ℂ$, che formano lo spazio di Hilbert L². Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.

Nello spazio euclideo ${ℝ}^n$ si ha:

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right).$

In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:

$⟨𝐱,𝐱⟩\cdot ⟨𝐲,𝐲⟩=|⟨𝐱,𝐲⟩{|}^2+{\Vert 𝐱\times 𝐲\Vert }^2$

dove l'operazione binaria $\times :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to {ℝ}^3$ indica il prodotto vettoriale.

Proprietà

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo $n$-dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.

Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:

$|⟨𝐱,𝐲⟩|=\Vert 𝐱\Vert \cdot \Vert 𝐲\Vert \cdot |\cos \theta |,$

dove $\theta =\widehat{𝐱𝐲}$ è l'angolo fra i due vettori $𝐱$ e $𝐲$. Si estende quindi questa relazione a un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori $𝐱$ e $𝐲$ come il $\theta \in [0,\pi ]$ che realizza l'uguaglianza.

Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:

• il prodotto scalare (o hermitiano) è una funzione continua da $V\times V$ in $ℝ$;
• la norma verifica la disuguaglianza triangolare;
• la disuguaglianza di Bessel.

Dimostrazione 1

Siano $u$, $v$ vettori arbitrari in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$ con un prodotto scalare (formando così uno spazio prodotto interno), e sia $F$ il campo reale o complesso. Dimostriamo la disuguaglianza

$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert ,$

dove l'identità vale se e solo se $u$ e $v$ sono multipli fra di loro.

Se $v=0$ è banalmente provata l'uguaglianza, ed in questo caso $u$ e $v$ sono linearmente dipendenti (multipli l'uno dell'altro) a prescindere da $u$. Possiamo quindi assumere $u$ non nullo. Assumiamo anche $⟨u,v⟩\ne 0$, altrimenti la disuguaglianza è ovviamente verificata, perché né $\Vert u\Vert$ né $\Vert v\Vert$ possono essere negativi.

Sia $z$ il vettore ortogonale a $v$ (si veda ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) così definito:

$z=u-u_v=u-\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v.$

Quindi

$u=\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v+z.$

Per bilinearità e simmetria del prodotto scalare e per ortogonalità di $v$ e $z$ si ha che

${\Vert u\Vert }^2=⟨u,u⟩=⟨\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v+z,\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v+z⟩={\left|\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}\right|}^2{\Vert v\Vert }^2+{\Vert z\Vert }^2+2\mathrm{R}\mathrm{e}⟨z,\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v⟩=\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{{\Vert v\Vert }^2}+{\Vert z\Vert }^2\ge \frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{{\Vert v\Vert }^2},$

da cui, moltiplicando entrambi i membri per ${\Vert v\Vert }^2$,

${\Vert u\Vert }^2{\Vert v\Vert }^2\ge |⟨u,v⟩{|}^2.$

Poiché la norma e il valore assoluto sono non negativi (i quadrati di quantità non negative sono ordinati come le proprie basi), prendendo la radice quadrata di ambo i membri si ottiene

$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert$ QED.

Dimostrazione 2

La disuguaglianza risulta banalmente vera per $𝐲\mathbf{=}\mathrm{𝟎}$, quindi si assume $⟨𝐲,𝐲⟩$ diverso da zero. Sia $\lambda$ un numero complesso. Si ha:

$0\le {\Vert 𝐱-\lambda 𝐲\Vert }^2=⟨𝐱-\lambda 𝐲,𝐱-\lambda 𝐲⟩$

$=⟨𝐱,𝐱⟩-\lambda ⟨𝐱,𝐲⟩-\bar{\lambda }⟨𝐲,𝐱⟩+|\lambda {|}^2⟨𝐲,𝐲⟩.$

Scegliendo

$\lambda =⟨𝐲,𝐱⟩\cdot ⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}$, e ricordando che $|\lambda {|}^2=\bar{\lambda }\lambda ,$

si ottiene:

$0\le ⟨𝐱,𝐱⟩-⟨𝐲,𝐱⟩⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}⟨𝐱,𝐲⟩-\overline{⟨𝐲,𝐱⟩⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}}⟨𝐲,𝐱⟩+\overline{⟨𝐲,𝐱⟩⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}}⟨𝐲,𝐱⟩⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}⟨𝐲,𝐲⟩$

$=⟨𝐱,𝐱⟩-\overline{⟨𝐱,𝐲⟩}⟨𝐱,𝐲⟩⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}-\overline{⟨𝐲,𝐱⟩}⟨𝐲,𝐱⟩⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}+\overline{⟨𝐲,𝐱⟩}⟨𝐲,𝐱⟩⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}(⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}⟨𝐲,𝐲⟩)$

$=⟨𝐱,𝐱⟩-|⟨𝐱,𝐲⟩{|}^2⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}-|⟨𝐱,𝐲⟩{|}^2⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}+|⟨𝐱,𝐲⟩{|}^2⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}$

$=⟨𝐱,𝐱⟩-|⟨𝐱,𝐲⟩{|}^2\cdot ⟨𝐲,𝐲{⟩}^{-1}$

che vale se e solo se

$|⟨𝐱,𝐲⟩{|}^2\le ⟨𝐱,𝐱⟩\cdot ⟨𝐲,𝐲⟩$

o equivalentemente

$|⟨𝐱,𝐲⟩|\le \Vert 𝐱\Vert \Vert 𝐲\Vert .$

Dimostrazione algebrica

Si consideri un polinomio di secondo grado in $x$ del tipo:

$p(x)=(a_1+b_{1}x{)}^2+\dots +(a_n+b_{n}x{)}^2,$

che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli $a_i$ e i $b_i$ sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia $(a_i,b_i)$ sussiste un legame di proporzionalità con tutte le coppie $(a_j,b_j)$ (cioè per ogni $j\in \{1,2,\dots ,n\}$ esiste $k_j\in ℝ$ tale che $a_j=k_j{a}_i$ e $b_j=k_j{b}_i$). In tal caso la radice è:

$x=-\frac{a_i}{b_i}=-\frac{a_j}{b_j}=-\frac{m{a}_i}{m{b}_i}.$

Sviluppando i quadrati si ottiene:

$p(x)=a_1^2+b_1^2{x}^2+2a_1{b}_{1}x+\dots +a_n^2+b_n^2{x}^2+2a_n{b}_{n}x=\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)x^2+2\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)x+\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right).$

Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi:

${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2-\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\le 0,$

da cui si ricava:

${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right),$

che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Bibliografia

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Voci correlate

• Disuguaglianza di Bessel
• Disuguaglianza di Hölder
• Disuguaglianza triangolare
• Forma sesquilineare
• Norma (matematica)
• Prodotto scalare

Collegamenti esterni

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