Disuguaglianza di Young

In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se $a$ e $b$ sono numeri reali positivi e $p,q>1$ tali che $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, allora

$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$

L'uguaglianza vale solo se $a^p=b^q$, dal momento che $ab=a(b^q{)}^{\frac{1}{q}}=a{a}^{\frac{p}{q}}=a^p=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.

La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.

Dimostrazione

Sappiamo che la funzione $f(x)=e^x$ è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:

$ab=e^{\ln (a)}{e}^{\ln (b)}=e^{\frac{1}{p}\ln (a^p)+\frac{1}{q}\ln (b^q)}\le \frac{1}{p}{e}^{\ln (a^p)}+\frac{1}{q}{e}^{\ln (b^q)}=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.

Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),

$f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y).$

Dimostrazione alternativa

Sia $f(a)=\frac{a^p}{p}$ una funzione convessa ($a>0,p>1$). La sua trasformata di Legendre è, per definizione,

$f^{\star }(b)=\underset{a}{\max }(ba-\frac{a^p}{p}).$

Fissato $b$, studiamo la derivata prima rispetto a $a$ della funzione $F(a,b)=ba-\frac{a^p}{p}$:

$\frac{\mathrm{d}F(a,b)}{\mathrm{d}a}=b-a^{p-1}=0⟺a=b^{\frac{1}{p-1}}.$

Essendo la funzione concava (la sua derivata seconda è uguale a quella di $-f(a)$, che è una funzione concava, visto che $f(a)$ è convessa), per $a=b^{\frac{1}{p-1}}$ la funzione $F(a,b)$ ha un massimo. Dunque:

$f^{\star }(b)=b^{\frac{p}{p-1}}(1-\frac{1}{p})=\frac{b^q}{q},q=\frac{p}{p-1}.$

Dal momento che $q=\frac{p}{p-1}=1+\frac{1}{p-1}>1,\mathrm{\forall }p>1$ e che la trasformata di Legendre di una funzione convessa è anch'essa una funzione convessa ($⟹b>0$), risulta che le condizioni poste affinché valga la disuguaglianza di Young sono equivalenti al fatto che $\frac{b^q}{q}$ sia la trasformata di Legendre di $\frac{a^p}{p}$. La dimostrazione della disuguaglianza diventa immediata; infatti, dalla definizione di trasformata di Legendre e di massimo di una funzione:

$ba-\frac{a^p}{p}\le \underset{a}{\max }(ba-\frac{a^p}{p})=\frac{b^q}{q}⟹ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$

Il procedimento utilizzato è del tutto generale, e non dipende dalla scelta di $f$, purché sia una funzione convessa. È immediato dimostrare che, in generale,

$px\le f(x)+f^{\star }(p).$

Bibliografia

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Voci correlate

• Disuguaglianza di Hölder
• Trasformata di Legendre

Collegamenti esterni

• Template:En http://mathworld.wolfram.com/YoungsInequality.html - L'articolo di MathWorld sulla disuguaglianza di Young.