Funzioni di Struve

In matematica, le funzioni di Struve sono funzioni speciali che sono soluzioni dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea di Bessel:

$z^2\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+z\frac{dw}{dz}+(z^2-{\nu }^2)w=\frac{4(z/2{)}^{\nu +1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}$

dove $\mathrm{\Gamma }$ è la funzione Gamma. La sua soluzione generale ha una forma del tipo:

$w(z)=a{J}_{\nu }(z)+b{Y}_{\nu }(z)+{𝐇}_{\nu }(z)$

dove $a$ e $b$ sono costanti arbitrarie, mentre $J_{\nu }(z)$ e $Y_{\nu }(z)$ denotano rispettivamente le funzioni di Bessel del primo e del secondo genere. La funzione ${𝐇}_{\nu }(z)$ è una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione differenziale precedente, e viene chiamata funzione di Struve di ordine $\nu$.

Definizione

Trattandosi di un'equazione non omogenea, la soluzione dell'equazione di Bessel può essere costruita a partire da una soluzione particolare aggiungendo le soluzioni della rispettiva equazione omogenea. In questo caso, le soluzioni omogenee sono le funzioni di Bessel, e la soluzione particolare può essere scelta come la corrispondente funzione di Struve.

L'espansione delle funzioni di Struve ${𝐇}_{\alpha }(x)$ in serie di potenze ha la seguente forma:

${𝐇}_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(\frac{z}{2}{)}^{2k}}{\mathrm{\Gamma }(k+\frac{3}{2})\mathrm{\Gamma }(k+\nu +\frac{3}{2})}$

In particolare:

${𝐇}_0(z)=\frac{2}{\pi }z[1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\prod _{j=1}^k{\left(\frac{z}{2j+1}\right)}^2]$

${𝐇}_1(z)=-\frac{2}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\prod _{j=1}^k\frac{z^2}{4j^2-1}$

La funzione di Struve modificata, denotata con ${𝐋}_{\nu }(z)$, si sviluppa in serie di potenze come:

${𝐋}_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+k)\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+k+\nu )}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$

Forma integrale

Una definizione alternativa della funzione di Struve per valori di $\alpha$ che soddisfano $\mathrm{\Re }(\alpha )>-1/2$ è possibile tramite la rappresentazione integrale:

${𝐇}_{\alpha }(x)=\frac{2{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin (x\cos \tau ){\sin }^{2\alpha }(\tau )d\tau$

Forme asintotiche

Per piccoli valori di $x$, lo sviluppo in serie di potenze è data sopra, mentre per grandi valori di $x$

${𝐇}_{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\to \frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}+O\left({\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha -3}\right)$

dove $Y_{\alpha }(x)$ è la funzione di Neumann.

Proprietà

Le funzioni di Struve soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza:

$\begin{array}{cc}{𝐇}_{\alpha -1}(x)+{𝐇}_{\alpha +1}(x)& =\frac{2\alpha }{x}{𝐇}_{\alpha }(x)+\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}\\ {𝐇}_{\alpha -1}(x)-{𝐇}_{\alpha +1}(x)& =2\frac{d}{dx}({𝐇}_{\alpha }(x))-\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}\end{array}$

Collegamenti con altre funzioni speciali

Le funzioni di Struve presentano collegamenti piuttosto stretti con varie funzioni special, come le funzioni di Bessel $J_{\nu }(z)$ e $Y_{\nu }(z)$, le funzioni di Bessel sferiche modificate $I_{\nu }(z)$, le funzioni di Anger ${𝐉}_{\nu }(iz)$, funzioni di Weber ${𝐄}_n$ e le funzioni di Struve modificate ${𝐋}_{\nu }(iz)$. Nello specifico, per quanto riguarda le funzioni di Weber, possono essere scritte attraverso di esse e viceversa, ovvero se $n$ è un intero non-negativo allora:

${𝐄}_n(z)=\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }\frac{\mathrm{\Gamma }(k+\frac{1}{2}){\left(\frac{z}{2}\right)}^{n-2k-1}}{\mathrm{\Gamma }(n-k-\frac{1}{2})}{𝐇}_n$

${𝐄}_{-n}(z)=\frac{(-1{)}^{n+1}}{\pi }\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k-\frac{1}{2}){\left(\frac{z}{2}\right)}^{-n+2k+1}}{\mathrm{\Gamma }(k+\frac{3}{2})}{𝐇}_{-n}$

Le funzioni di Struve di ordine $n+1/2$, con $n$ intero, possono inoltre essere scritte tramite funzioni elementari; in particolare se $n$ è un intero non-negativo allora:

${𝐇}_{-n-\frac{1}{2}}(z)=(-1{)}^n{J}_{n+\frac{1}{2}}(z)$

dove il membro di destra è una funzione di Bessel sferica.

Le funzioni di Struve di ordine qualsiasi possono anche essere definite con la funzione ipergeometrica generalizzata ${}_1{F}_2$:

${𝐇}_{\alpha }(z)=\frac{{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\alpha +\frac{1}{2}}}{\sqrt{2\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}{}_1{F}_2(1,\frac{3}{2},\alpha +\frac{3}{2},-\frac{z^2}{4})$

Bibliografia

• Template:EnG. N. Watson (1922) A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press (Capitolo 10, sezione 10.4 pp. 328-338)
• Template:EnY. L. Luke (1962): Integrals of Bessel functions, McGraw-Hill
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• Template:EnShanjie Zhang, Jianming Jin (1996): Computation of Special functions, J.Wiley (Chapter 11)
• Template:EnR. B. Paris (2010): Struve and Related Functions Digital Library of Mathematical Functions

Voci correlate

• Armoniche cilindriche
• Equazioni di Bessel
• Funzioni di Anger
• Funzioni di Lommel
• Funzioni di Struve modificate
• Serie di potenze

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:SpringerEOM
• Template:EnStruve function in functions.wolfram.com
• Template:EnJ. P. Mason, Template:Collegamento interrotto NRL Memorandum Reports, MR-3181, 1975.