Funzioni di Anger

In matematica, le funzioni di Anger sono funzioni speciali introdotte da C. T. Anger nel 1855. Si tratta di soluzioni dell'equazione di Bessel:

z^{2} y^{''} + z y^{'} + (z^{2} - ν^{2}) y = (z - ν) \sin (π z) / π

Definizione

Le funzioni di Anger $𝐉_{ν} (z)$ sono definite dall'integrale:

𝐉_{ν} (z) = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \cos (ν θ - z \sin θ)

Per $ν \in ℤ$ la funzione di Anger è semplicemente la funzione di Bessel $J_{n} (z)$ .

Le funzioni di Anger sono soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine non omogenea (equazione di Bessel):

z^{2} \frac{d^{2} w}{d z^{2}} + z \frac{d w}{d z} + (z^{2} - ν^{2}) w = \frac{(z - ν) \sin (ν π)}{π}

Si possono esprimere le funzioni di Anger con le funzioni di Lommel:

𝐉_{ν} (z) = \frac{\sin ν π}{π} s_{0, ν} (z) - \frac{ν \sin (π ν)}{π} s_{- 1, ν} (z)

\sin (ν π) 𝐉_{ν} (z) = \cos (ν π) 𝐄_{ν} (z) - 𝐄_{- ν} (z)