Equazioni di Bessel

In matematica, le equazioni di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Wilhelm Bessel, sono un caso particolare dell'equazione ipergeometrica confluente, le cui soluzioni definiscono le armoniche cilindriche o funzioni di Bessel.

Definizione

Si tratta di equazioni differenziali ordinarie del second'ordine lineari omogenee della forma:

$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-{\alpha }^2)y=0$

$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2+{\alpha }^2)y=0$

dove si è utilizzata la notazione di Lagrange per le derivate totali per l'incognita $y$. Il numero $\alpha$ è detto l'ordine dell'equazione, mentre $x$ e $y$ assumono valori in $ℂ$.

Esplicitando le derivate e dividendo per $x^2$:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+(1\pm \frac{{\alpha }^2}{x^2})y=0$

che si può scrivere anche come:

$\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\frac{dy}{dx}\right)+(1\pm \frac{{\alpha }^2}{x^2})y=0$

Le soluzioni generali sono le armoniche cilindriche o funzioni di Bessel, e si suddividono in funzioni di Bessel del primo tipo (chiamate esse stesse "armoniche cilindriche" e indicate con $J_{\alpha }(x)$) e funzioni di Bessel del secondo tipo (dette funzioni di Neumann o funzioni di Weber e indicate con $Y_{\alpha }(x)$). Un terzo tipo di soluzione, le funzioni di Bessel del terzo tipo o funzioni di Hankel $H_{\alpha }^1(x)$ e $H_{\alpha }^2(x)$, sono una particolare combinazione lineare delle precedenti.

Se $\alpha$ non è intero una soluzione generale è data da:

$y=C_1{J}_{\alpha }(x)+C_2{J}_{-\alpha }(x)$

con $C_1$ e $C_2$ costanti arbitrarie.

Per un ordine generico la soluzione può invece essere data nelle seguenti forme:

$y=C_1{J}_{\alpha }(x)+C_2{Y}_{\alpha }(x)y=C_1{H}_{\alpha }^1(x)+C_2{H}_{\alpha }^2(x)$

Per un dato ordine le funzioni $J_{\alpha }(x)$, $Y_{\alpha }(x)$, $H_{\alpha }^1(x)$ e $H_{\alpha }^2(x)$ sono infatti mutuamente linearmente indipendenti.

Forma ridotta

Sostituendo $y=u{x}^{-1/2}$ si ottiene la forma ridotta della prima equazione di Bessel:

$u^{″}+(1+\frac{1-4{\alpha }^2}{4x^2})u=0$

Sostituendo $x=z/2i$ in tale forma ridotta si giunge all'equazione di Whittaker.

Bibliografia

• Template:EnMilton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitoli 9, 10,11)
• Template:Cita libro
• Template:EnWilliam Ellwood ByerlyAn elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & Co., Boston, 1893) (capitolo 7)
• Template:EnAndrew Gray e George Ballard Matthews A treatise on Bessel functions and their applications to physics ( Macmillan and co.,New York, 1895)
• Template:EnGeorge Neville Watson A treatise on the theory of Bessel Functions (Cambridge University Press, 1922)

Voci correlate

• Armoniche cilindriche
• Equazione di Legendre
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione ipergeometrica confluente
• Funzione di Whittaker

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
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• Template:EnFunzioni di tipo Bessel (functions.wolfram.com)