Funzioni di Lommel

In matematica, con funzioni di Lommel, in riferimento a Eugen von Lommel, vengono identificati diversi tipi di funzioni tra cui le soluzioni dellTemplate:'equazione di Lommel, una generalizzazione dell'equazione di Bessel. Esse possono essere:

• Funzioni dipendenti da una sola variabile $z$, indicate con $s_{\mu ,\nu }(z)$ e $S_{\mu ,\nu }(z)$, dove $\mu ,\nu$ sono parametri. Sono state studiate da Lommel nel 1876.
• Funzioni dipendenti da due variabili $w,z$ denotate con $U_n(w,z)$ e $V_n(w,z)$, studiate da Lommel nel 1886.

Funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile

Le funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile $s_{\mu ,\nu }(z)$ e $S_{\mu ,\nu }(z)$ soddisfano l'equazione differenziale lineare detta equazione di Lommel:

$z^2\frac{dy}{d{z}^2}+z\frac{dy}{dz}+(z^2-{\nu }^2)y=z^{\mu +1}.$

La funzione $s_{\mu ,\nu }(z)$ è la soluzione, sviluppabile come serie di potenze:

$s_{\mu ,\nu }(z)=z^{\mu -1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(z/2{)}^{2n+2}\mathrm{\Gamma }((\mu -\nu +1)/2)\mathrm{\Gamma }((\mu +\nu +1)/2)}{\mathrm{\Gamma }((\mu -\nu +3)/2+n)\mathrm{\Gamma }((\mu +\nu +3)/2+n)}.$

Le soluzioni dell'equazione differenziale lineare sono $s_{\mu ,\nu }(z)+A{J}_{\nu }(z)+B{J}_{-\nu }(z)$ dove $J_{\pm \nu }$ sono funzioni di Bessel.

La funzione di Lommel $S_{\mu ,\nu }(z)$ è definita come:

$S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+\frac{2^{\mu -1}\mathrm{\Gamma }((\mu -\nu +1)/2)\mathrm{\Gamma }((\mu +\nu +1)/2)}{\sin \pi \nu }[\cos (\pi (\mu -\nu )/2)J_{-\nu }(z)-\cos (\pi (\mu +\nu )/2)J_{\nu }(z)].$

Le funzioni di Anger, le funzioni di Weber e le funzioni di Struve sono casi particolari delle funzioni di Lommel.

Funzioni di Lommel dipendenti da due variabili

Le funzioni $U_n(w,z)$ e $V_n(w,z)$ sono definite come serie di Neumann, ossia come uno sviluppo costruito sulle funzioni di Bessel:

$U_{\nu }(w,z)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{\left(\frac{w}{z}\right)}^{\nu +2m}{J}_{\nu +2m}(z);$

$V_{\nu }(w,z)=\cos (\frac{w}{2}+\frac{z}{2w}+\frac{\nu \pi }{2})+U_{2-\nu }(w,z).$

Queste funzioni sono importanti nella teoria della diffrazione.

Bibliografia

• Template:De E. Lommel Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function Math. Ann. 9, 425 (1876)
• Template:De G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 345–352
• Template:De E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 229 (1886)
• Template:De E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 529 (1886)
• Template:En J. Walker The analytical theory of light (Cambridge University Press, 1904)
• Template:En G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 537–550
• Template:En A. Gray e G. B. Mathews A treatise on Bessel functions and their applications to physics pp. 165–209 (London: Macmillan and co., 1895)

Voci correlate

• Equazioni di Bessel
• Funzioni di Anger
• Funzioni di Bessel
• Funzioni di Weber
• Funzioni di Struve

Collegamenti esterni

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