Spazio duale

In matematica, lo spazio duale o spazio duale algebrico di uno spazio vettoriale è un particolare spazio vettoriale che ricorre in molte applicazioni della matematica e della fisica essendo a fondamento della nozione di tensore.

Definizione

Sia $V$ un $𝕂$-spazio vettoriale. Lo spazio duale di $V$, indicato con $V^{*}$, è formato da tutti i funzionali lineari

$f:V\to 𝕂.$

La somma fra due funzionali lineari $f$ e $g$, e il prodotto fra $f$ e uno scalare $\alpha$ sono definiti nel modo seguente: per ogni $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}\in V$ si ha

$(f+g)(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}):=f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})+g(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}});$

$(\alpha f)(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}):=\alpha f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}).$

Con queste operazioni, l'insieme $V^{*}$ assume effettivamente la struttura algebrica di spazio vettoriale. In simboli, si può scrivere:

$V^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,𝕂),$

dove la notazione $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W)$ indica, in generale, lo spazio vettoriale formato da tutte le applicazioni lineari fra due spazi vettoriali $V$ e $W$.

Base duale

Dimensione finita

Se $V$ ha dimensione finita $n$, allora $V^{*}$ ha la stessa dimensione di $V$. Usando le matrici si dimostra infatti che

$\dim \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W)=\dim V\cdot \dim W.$

In questo caso si ottiene:

$\dim V^{*}=\dim \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,𝕂)=n\cdot 1=n.$

Data una base di $V$, è possibile costruire una base duale di $V^{*}$ nel modo seguente. Se

$B=\{{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_n\}$

è una base per $V$, la base duale

$B^{*}=\{{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_1^{*},\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_n^{*}\}$

è definita dalle relazioni:

${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_i^{*}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_j)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }i=j,\\ 0,& \text{se }i\ne j.\end{array}$

In altre parole, il funzionale $v_i^{*}$ è definito come l'unico funzionale che manda ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_i$ in 1 e tutti gli altri elementi ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_j$ della base in zero.

Quindi l'applicazione:

$\begin{array}{c}{\varphi }_B:V⟶V^{*}\\ {\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_i⟼{\varphi }_B({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_i)={\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_i^{*}\end{array}\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$

è un isomorfismo che però dipende dalla scelta della base, quindi non canonico.

Più concretamente, se ${ℝ}^n$ è lo spazio dei vettori colonna con $n$ componenti, lo spazio duale $({ℝ}^n{)}^{*}$ è lo spazio dei vettori riga con $n$ componenti: ciascun vettore riga $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ può essere infatti interpretato come un funzionale che manda il vettore colonna $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}}$ nello scalare $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}}$ ottenuto moltiplicando $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ e $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}}$ tramite la usuale moltiplicazione fra matrici. In questo caso, se $\{{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_n\}$ è la base canonica di ${ℝ}^n$, allora ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i^{*}$ è semplicemente la trasposta di ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i$.

Dimensione infinita

Se $V$ ha dimensione infinita, la costruzione di ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i$ descritta sopra produce dei vettori indipendenti in $V^{*}$, ma non una base: questi vettori non sono sufficienti per generare tutti i funzionali lineari. Infatti $V^{*}$ ha dimensione maggiore di $V$, nel senso che è infinita con cardinalità maggiore.

Ad esempio, lo spazio ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ delle successioni di numeri reali che hanno solo un numero finito di elementi non nulli ha dimensione numerabile. Lo spazio duale può essere identificato con lo spazio ${ℝ}^{\omega }$ di tutte le successioni di numeri reali, e ha dimensione più che numerabile (ha la stessa cardinalità di $ℝ$). L'identificazione avviene nel modo seguente: una sequenza ($a_n$) di ${ℝ}^{\omega }$ è il funzionale che manda l'elemento ($x_n$) di ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ nello scalare $\sum _n{a}_n{x}_n$.

Spazio biduale

Sia $V$ un $𝕂$-spazio vettoriale. Allora $V^{**}$ è definito in questo modo:

$V^{**}:=(V^{*}{)}^{*}=\mathrm{Hom}(V^{*},𝕂)$

e viene detto spazio biduale di $V.$

Quindi lo spazio biduale $V^{**}$ di uno spazio vettoriale $V$ è ottenuto prendendo il duale dello spazio $V^{*}$.

Se $V^{**}$ ha dimensione finita, questo ha sempre la stessa dimensione di $V^{*}$.

$\begin{array}{cc}{\varphi }_{B^{*}}:V^{*}& \to V^{**},\\ {\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_i^{*}& \mapsto {\varphi }_{B^{*}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_i^{*})={\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}_i^{**},\end{array}\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\},$

è un isomorfismo (non canonico) da $V^{*}$ in $V^{**}$.

A differenza di $V^{*}$, se $V$ ha dimensione finita lo spazio $V^{**}$ è canonicamente isomorfo a $V$, tramite un isomorfismo canonico $\mathrm{\Psi }:V\to V^{**}$ che non dipende da nessuna scelta della base, definito come segue:

$(\mathrm{\Psi }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}))(\varphi )=\varphi (\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}),$

dove $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}\in V$ e $\varphi \in V^{*}$.

Inoltre per ogni $B$ base $\mathrm{\Psi }={\varphi }_{B^{*}}\circ {\varphi }_B$.

Se $V$ ha dimensione infinita, la mappa $\mathrm{\Psi }$ è solamente iniettiva.

Annullatore

Sia $V$ un $𝕂$-spazio vettoriale, sia $\mathrm{\Psi }:V\to V^{**}$ l'isomorfismo canonico da $V$ in $V^{**}$ e sia $v$ un elemento di $V$. Allora:

$\mathrm{Ann}(v)=\mathrm{Ker}(\mathrm{\Psi }(v))=\{f\in V^{*}|f(v)=0\}$

e viene detto annullatore di $v$ in $V$.

Se si estende questa definizione a un qualsiasi sottoinsieme $S$ di $V$ si ottiene:

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(S)=\bigcap _{s\in S}\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(s)=\bigcap _{s\in S}\mathrm{Ker}(\mathrm{\Psi }(s))=\{f\in V^{*}|f[S]=\{0\}\}=\{f\in V^{*}|f_{|S}=0\}.$

Proprietà

• Per ogni $S\subseteq V,$ si ha che $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(S)$ è un sottospazio vettoriale di $V^{*}.$
• Se $S\subseteq T,$ allora $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(T)\subseteq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(S).$
• $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(S)=\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(S)).$
• Se $U$ è un sottospazio vettoriale di $V$ e $\dim U=k,$ allora $\dim \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(U)=n-k.$
• Se $f\in V^{*},$ allora $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(f)=\mathrm{\Psi }(\mathrm{Ker}f).$
• Se $U$ è un sottospazio vettoriale di $V,$ allora $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(U))=\mathrm{\Psi }(U).$

Trasposta di un'applicazione lineare

Se $f:V\to W$ è un'applicazione lineare fra spazi vettoriali, si definisce la sua trasposta $f^T:W^{*}\to V^{*}$ nel modo seguente:

$(f^T)(\varphi )=\varphi \circ f,$

dove $\varphi$ è un funzionale in $W^{*}$.

In altre parole, si associa un funzionale su $V$ ad uno su $W$ tramite composizione con $f$. La funzione $f^T:W^{*}\to V^{*}$ è lineare e $(f^T{)}^T=f$ a meno dell'identificazione ${\mathrm{\Psi }}_1:V\to V^{**}$ e ${\mathrm{\Psi }}_2:W\to W^{**}$, ossia:

$f={\mathrm{\Psi }}_2^{-1}\circ (f^T{)}^T\circ {\mathrm{\Psi }}_1.$

Inoltre $\mathrm{Ker}{f}^T=\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(\mathrm{Im}f)$ e $\mathrm{Im}{f}^T=\mathrm{Ann}(\mathrm{Ker}f)$ e se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto a due basi di $V$ e $W$, allora la trasposta $A^T$ è la matrice associata a $f^T$ rispetto alle basi duali di $W^{*}$ e $V^{*}$.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali e i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali su $𝕂$ in sé.

Forma bilineare e spazio biduale

Per quanto detto sopra, se $V$ ha dimensione finita gli spazi $V$ e $V^{*}$ sono isomorfi: l'isomorfismo tra i due spazi non è però canonico, nel senso che per definirlo è necessario fare una scelta, quella di una base per $V$. Scelte diverse danno isomorfismi diversi: ogni isomorfismo $\mathrm{\Phi }$ da $V$ in $V^{*}$ definisce una forma bilineare non degenere su $V$ nel modo seguente:

$⟨\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}},\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}}⟩=(\mathrm{\Phi }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}))(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}})$

e analogamente ogni forma bilineare non degenere definisce un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$.

Spazio duale topologico

Se $V$ è uno spazio vettoriale topologico, ed è quindi dotato di una topologia appropriata (ad esempio se è uno spazio di Hilbert o di Banach), si può generalizzare la precedente nozione introducendo lo spazio duale topologico, anche detto spazio duale continuo di $V$. Lo spazio duale topologico è molto utilizzato nell'analisi matematica, principalmente perché su di esso si possono definire interessanti strutture topologiche.

Definizione

Lo spazio duale topologico $V^{\prime }$ dello spazio vettoriale topologico $V$ è definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su $V$. Se $V$ ha dimensione finita, gli spazi duali algebrico $V^{*}$ e topologico $V^{\prime }$ coincidono, perché tutti i funzionali lineari sono continui. Questo non è vero in generale se $V$ ha dimensione infinita. La definizione data si riduce a quella di spazio duale algebrico anche nel caso in cui si considera lo spazio vettoriale $V$ equipaggiato con la topologia discreta, nella quale tutti i funzionali sono continui. Il duale continuo $V^{\prime }$ di uno spazio normato (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert) è uno spazio normato completo, ovvero spazio di Banach, e la norma $\Vert \varphi \Vert$ di un funzionale lineare continuo $\varphi$ su $V$ è definita come:

$\Vert \varphi \Vert =\sup \{|\varphi (x)|:\Vert x\Vert \le 1\}.$

La continuità di $\varphi$ garantisce che $\Vert \varphi \Vert$ sia un numero finito. $V^{\prime }$ è sempre uno spazio di Banach, anche se $V$ non lo è. Analogamente, un prodotto scalare su $V$ ne induce uno su $V^{\prime }$ in modo tale che se il primo è di Hilbert lo sia anche il suo duale.

In uno spazio vettoriale topologico generico, tuttavia, per definire la nozione di limitatezza è necessario ricorrere, invece che a nozioni come la distanza o l'usuale norma, agli intorni dell'origine: dato uno spazio vettoriale topologico $(X,\tau )$ su un campo $F$, un insieme $E\subset X$ è detto limitato nella topologia $\tau$ se e solo se per ogni intorno $D$ dell'origine esiste un numero reale positivo $\alpha$ (dipendente da $D$) tale che $E\subset \alpha D$, ovvero $E$ deve essere contenuto in un opportuno multiplo di ogni intorno dell'origine. In altri termini, un insieme è limitato se è un insieme assorbente per ogni intorno del vettore zero.

La caratterizzazione con una topologia dello spazio duale continuo $V^{\prime }$ di uno spazio vettoriale topologico $V$, dunque, avviene grazie a una classe $𝒜$ di sottoinsiemi limitati di $V$ in modo che la topologia è generata da una famiglia di seminorme della forma:

$\Vert \phi {\Vert }_A=\underset{x\in A}{\sup }|\phi (x)|,$

dove $\phi$ è un funzionale lineare continuo definito su $V$, e $A$ spazia nella classe $𝒜$. A questa topologia è associata la convergenza uniforme di funzionali definiti sugli insiemi di $𝒜$:

$\Vert {\phi }_i-\phi {\Vert }_A=\underset{x\in A}{\sup }|{\phi }_i(x)-\phi (x)|\underset{i\to \mathrm{\infty }}{⟶}0,\mathrm{\forall }A\in 𝒜.$

Solitamente si suppone che la classe $𝒜$ soddisfi le seguenti condizioni:

• Ogni punto $x$ di $V$ appartiene a qualche insieme $A\in 𝒜$.
• Ogni coppia di insiemi $A\in 𝒜$ e $B\in 𝒜$ è contenuta in qualche insieme $C\in 𝒜$.
• La classe $𝒜$ è chiusa rispetto all'operazione di moltiplicazione per scalare.

Se queste condizioni sono soddisfatte allora la corrispondente topologia su $V^{\prime }$ è di Hausdorff, e gli insiemi:

$U_A=\{x\in V:||\phi |{|}_A<1\},A\in 𝒜$

costituiscono una sua base locale.

Esempi

Sia $p$ un numero reale maggiore di 1. Lo spazio l^p è l'insieme di tutte le successioni $𝐚=(a_n)$ tali che

$\Vert 𝐚{\Vert }_p={(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p)}^{1/p}$

è finito. Sia $p^{*}$ il numero per cui vale $1/p+1/p^{*}=1$. Allora il duale continuo di $l^p$ è identificato in modo naturale con $l^{p^{*}}$ nel modo seguente: dato un funzionale continuo $\varphi$ su $l^p$, l'elemento corrispondente in $l^p$ è la successione $(\varphi ({𝐞}_n))$, dove ${𝐞}_n$ è la successione il cui $n$-esimo termine è 1 e tutti gli altri sono nulli. D'altra parte, dato un elemento $𝐚=(a_n)\in l^{p^{*}}$, il funzionale lineare continuo corrispondente $\varphi$ su $l^p$ è definito come:

$\varphi (𝐚)=\sum _n{a}_n{b}_n,$

per ogni $𝐚=(a_n)\in l^p$. L'identificazione fa uso della disuguaglianza di Hölder.

Si nota che $p^{**}=p$: anche in questo contesto lo spazio è isomorfo in modo naturale con il suo biduale. Questo non è però sempre vero in generale: il duale continuo di $l^1$ è identificato in modo naturale con lo spazio $l^{\mathrm{\infty }}$ delle successioni limitate, ma il duale continuo di $l^{\mathrm{\infty }}$ è uno spazio "più grande" di $l^1$.

Biduali e spazi riflessivi

Template:Vedi anche Il biduale topologico $V^{**}$ è definito quindi come il duale topologico di $V^{*}$. Analogamente a quanto visto sopra, esiste una mappa canonica iniettiva, detta mappa di James:

$\mathrm{\Psi }:V\to V^{**}.$

A differenza di quanto visto sopra, questa mappa può essere suriettiva anche se $V$ ha dimensione infinita: in questo caso lo spazio $V$ si dice riflessivo. In particolare, uno spazio localmente convesso è riflessivo se coincide con il duale continuo del suo duale continuo sia come spazio topologico che come spazio vettoriale.

Ogni spazio di Hilbert è riflessivo. Anche gli spazi di Banach L^p per $p>1$ sono riflessivi, ma $L^1$ e $L^{\mathrm{\infty }}$ non lo sono.

Spazio preduale

Se la chiusura di uno spazio $D$ è lo spazio duale di un altro spazio, allora $D$ è detto spazio preduale o semplicemente preduale.

Bibliografia

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Voci correlate

• Base duale
• Covarianza e controvarianza
• Funzionale lineare
• Spazio di Hilbert
• Spazio riflessivo
• Spazio vettoriale
• spazio vettoriale topologico
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

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