Matrice normale

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata a valori complessi $A$ è una matrice normale se:

$A^{†}A=A{A}^{†}$

dove $A^{†}$ è la matrice trasposta coniugata di $A$. Ovvero, una matrice normale è una matrice che commuta con la sua trasposta coniugata. Se $A$ è una matrice reale, allora $A^{†}$ è semplicemente uguale alla trasposta di $A$.

Le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Il concetto di matrice normale può essere generalizzato agli operatori normali sugli spazi di Hilbert e agli elementi normali nelle C*-algebre.

Proprietà

Le matrici normali sono le matrici a cui si applica il teorema spettrale: possono essere rappresentate da una matrice diagonale rispetto a una base ortonormale di ${ℂ}^n$ opportunamente scelta. In altri termini, una matrice è normale se e solo se i suoi autospazi generano ${ℂ}^n$ e sono ortogonali a due a due rispetto all'usuale prodotto scalare di ${ℂ}^n$.

In generale, la somma o il prodotto di due matrici normali non è necessariamente normale. Tuttavia, se $A$ e $B$ sono normali con $AB=BA$, allora sia $AB$ che $A+B$ sono normali e inoltre è possibile diagonalizzare simultaneamente $A$ e $B$ nel seguente senso: esiste una matrice unitaria $U$ tale che $UA{U}^{†}$ e $UB{U}^{†}$ sono entrambe matrici diagonali. In questo caso, le colonne di $U^{†}$ sono autovettori sia di $A$ che di $B$ e formano una base ortonormale di ${ℂ}^n$.

Se $A$ è una matrice normale invertibile, allora esiste una matrice unitaria $U$ e una matrice definita positiva $R$ tale che $A=RU=UR$. Le matrici $R$ e $U$ sono unicamente determinate da $A$. Questa affermazione può essere vista come un analogo (e una generalizzazione) della rappresentazione polare dei numeri complessi non nulli.

Tutte le matrici unitarie, hermitiane, antihermitiane e definite positive sono normali. Se $A$ è unitaria $A^{†}A=A{A}^{†}=I$. Se $A$ è hermitiana, allora $A^{†}=A$ e quindi $A^{†}A=AA=A{A}^{†}$. Tuttavia non tutte le matrici normali sono unitarie, hermitiane, o definite positive.

Relativamente allo spettro di $A$, si ha che una matrice è normale se e solo se:

${\sigma }_i(A)=|{\lambda }_i(A)|\mathrm{\forall }i=1\dots n$

dove ${\sigma }_1(A)\ge \dots \ge {\sigma }_n(A)$ sono i valori singolari di $A$ e $|{\lambda }_1(A)|\ge \dots \ge |{\lambda }_n(A)|$ gli autovalori di $A$.

Un'altra condizione necessaria e sufficiente è che la norma di Frobenius di $A$ può essere calcolata con i suoi autovalori:

$\mathrm{tr}(A^{*}A)=\sum _j^n|{\lambda }_j{|}^2$

La norma operatoriale di una matrice normale $N$, inoltre, è pari al suo raggio spettrale:

$\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Nx\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|⟨Nx,x⟩|=\max \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (N)\}$

dove $\sigma (N)$ è lo spettro di $N$.

Esempio

La matrice:

$\left(\begin{array}{ccc}-i& -i& 0\\ -i& i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

è normale poiché:

$\left(\begin{array}{ccc}-i& -i& 0\\ -i& i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}-i& -i& 0\\ -i& i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}^{†}=\left(\begin{array}{ccc}-i& -i& 0\\ -i& i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}i& i& 0\\ i& -i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}i& i& 0\\ i& -i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-i& -i& 0\\ -i& i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}-i& -i& 0\\ -i& i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}^{†}\left(\begin{array}{ccc}-i& -i& 0\\ -i& i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

ma non è unitaria, né hermitiana, né definita positiva.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

Voci correlate

• Commutatore (matematica)
• Matrice trasposta
• Matrice trasposta coniugata
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Operatore normale
• Teorema spettrale
• Valore singolare

Collegamenti esterni

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