Funzione suriettiva

Un esempio di funzione suriettiva: non esiste alcun elemento di Y che non sia puntato da un elemento di X

In matematica, una funzione si dice suriettiva (o surgettiva, o una suriezione) quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio.

Definizione

Una funzione $f:X\to Y$ è detta suriettiva se $\mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\exists }x\in X|f(x)=y$.

La composta di due funzioni suriettive è a sua volta suriettiva; ma se $g\circ f$ è suriettiva, possiamo concludere solo che $g$ è suriettiva

Esempi

• Per ogni insieme $X$, la funzione identità ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ su $X$ è suriettiva.
• La funzione $f:ℝ\to ℝ$ definita da $f(x)=2x+1$ è suriettiva, perché per ogni numero reale $y$ si ha $f(x)=y$ dove $x$ è $\frac{y-1}{2}$.
• La funzione logaritmo naturale $\ln :{ℝ}^{+}\to ℝ$ è suriettiva.
• Sia la parabola $f(x)=x^2$ definita in maniera seguente: $f:ℝ⟶ℝ$; questa funzione non è suriettiva in quanto l'insieme delle immagini è costituito da tutti i numeri reali non negativi. Per rendere suriettiva questa funzione è sufficiente effettuare questa restrizione: $f:ℝ⟶{ℝ}^{+}\cup \{0\}$, ovvero considerare un codominio diverso.

Graficamente la suriettività può essere vista in questo modo: se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è suriettiva allora tracciando sul piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse $x$ di equazione $y=h$ con $h$ scelto nel codominio della funzione, allora questa retta orizzontale intersecherà il grafico della funzione almeno una volta.

Proprietà

• Una funzione $f:X\to Y$ è suriettiva se e solo se esiste una funzione $g:Y\to X$ tale che $f\circ g$ è la funzione identità su $Y$. (Tale proposizione è equivalente all'assioma della scelta.)
• Se $f$ e $g$ sono entrambe suriettive, allora $f\circ g$ è suriettiva.
• Se $f\circ g$ è suriettiva, allora $f$ è suriettiva (ma $g$ può non esserlo).
• $f:X\to Y$ è suriettiva se e solo se, per ogni coppia di funzioni $g,h:Y\to Z$, ogni volta che $g\circ f=h\circ f$, allora $g=h$. In altri termini, le funzioni suriettive sono esattamente gli epimorfismi nella categoria $Ins$ di tutti gli insiemi.
• Se $f:X\to Y$ è suriettiva e $B$ è un sottoinsieme di $Y$, allora $f(f^{-1}(B))=B$. Ne consegue che $B$ può essere ricostruito dalla sua controimmagine $f^{-1}(B)$.
• Per ogni funzione $h:X\to Z$ esistono una suriezione $f$ e una funzione iniettiva $g$ tale che $h$ può essere decomposta come $h=g\circ f$. Tale decomposizione è unica a meno di un isomorfismo, e $f$ può essere vista come una funzione avente gli stessi valori di $h$ ma il cui codominio è ristretto all'insieme immagine $h(W)$ di $h$, che è un sottoinsieme del codominio $Z$ di $h$.
• Aggregando insieme tutte le controimmagini di una prefissata immagine, ogni funzione suriettiva induce una funzione biunivoca definita sul quoziente del suo dominio. In particolare, ogni funzione suriettiva $f:A\to B$ può essere fattorizzata in una proiezione seguita da una biiezione nel seguente modo. Sia $A/\sim$ l'insieme delle classi di equivalenza di $A$ rispetto alla seguente relazione d'equivalenza: $x\sim y\iff f(x)=f(y)$. Sia $P(\sim ):A\to A/\sim$ la proiezione che associa ogni $x\in A$ alla sua classe d'equivalenza$[x{]}_{\sim }$, e sia $f_P:A/\sim \to B$ la funzione ben definita data da $f_P([x{]}_{\sim })=f(x)$. Allora $f=f_P\circ P(\sim )$.
• Se $f:X\to Y$ è suriettiva e $X,Y$ sono insiemi finiti, allora $X$ ammette almeno lo stesso numero di elementi di $Y$.
• Se $X$ e $Y$ sono finiti con lo stesso numero di elementi, allora $f:X\to Y$ è suriettiva se e solo se $f$ è iniettiva.

Numero di funzioni suriettive

Il numero di funzioni suriettive da un insieme finito $A$ con $a$ elementi ad un insieme finito $B$ con $b$ elementi è pari a 0 se $a<b$ (vedi proprietà 8). Nel caso meno banale in cui $a⩾b$ il numero di funzioni suriettive da $A$ a $B$, indicato con $S_{ab}$, sarà dato dalla seguente relazione di ricorrenza:

$S_{a,1}=1,$

$S_{a,b}=b^a-\sum _{k=1}^{b-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{k})S_{a,k}.$

Per giustificare questa formula basti pensare al fatto che, per calcolare $S_{ab}$, basta contare quante sono tutte le $f:A\to B$ (cioè $b^a$) e sottrarre quelle non suriettive. Le funzioni non suriettive hanno come immagine un sottoinsieme più piccolo di $B$, di cardinalità $1⩽k⩽b-1$. Per ogni $k$ si sottrarrà dunque $S_{ak}$ tante volte quanti sono i possibili modi di scegliere i $k$ elementi su $b$ disponibili e cioè $(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{k})$.

La formula che utilizza i numeri di Stirling di seconda specie è la seguente $S_{a,b}=b!\left\{\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right\}$

Per esempio $S_{5,3}=3!\left\{\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right\}=3!25=150S_{5,2}=2!\left\{\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right\}=2!15=30S_{5,1}=1!\left\{\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right\}=1!1=1$

Anche mediante l'altra formula $S_{5,3}=3^5-((\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})30)=243-93=150$

Voci correlate

• Funzione iniettiva
• Funzione biiettiva

Collegamenti esterni

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