Funzione iniettiva

Un esempio di funzione iniettiva: non esiste alcun elemento di Y che sia puntato da più di un elemento di X

Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

In altre parole: una funzione da un insieme $X$ a un insieme $Y$ è iniettiva se ogni elemento di $Y$ non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di $X$.

Definizione

Una funzione $f:X\to Y$ si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia $a_1\ne a_2$ implica $f(a_1)\ne f(a_2)$; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia $f(a_1)=f(a_2)$ implica $a_1=a_2$.

Simbolicamente:

$\mathrm{\forall }x,y\in X,f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$

oppure, nella forma contronominale:

$\mathrm{\forall }x,y\in X,x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y).$

Proprietà

Grafico

Questo è il grafico di una funzione reale di variabile reale non iniettiva; c'è quindi una retta parallela all'asse x che lo interseca in più di un punto

Se $f:X\to Y$ è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine $\text{Im}(f)=f(X)=\{f(a)\mid a\in X\}$ è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico $\mathrm{\Gamma }(f)=\{(a,b)\in X\times Y\mid f(a)=b\}$ sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se $f$ è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle $x$ intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).

Viceversa, se $f$ è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, $f(a_1)=f(a_2)=b$. Dunque la retta $y=b$ interseca il grafico $\mathrm{\Gamma }(f)$ in almeno due punti: $(a_1,b)$ e $(a_2,b)$.

Omomorfismi

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo. Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

Invertibilità

La funzione esponenziale, definita da $ℝ$ alla sola immagine $\exp (ℝ)=]0,\mathrm{\infty }[$ è invertibile, con inversa la funzione logaritmo $\log (x)$La funzione logaritmo $\log (x)$ è l'inversa della funzione esponenziale $\exp (x)=e^x$, se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo $(0,+\mathrm{\infty })$

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva $f:X\to Y$ non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione $\tilde{f}:X\to f(X)$, invertibile.

Una funzione invertibile $f$ è iniettiva, ed anche la sua inversa $f^{-1}$, essendo invertibile, è iniettiva.

Composizione

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

$a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)\Rightarrow g(f(a_1))\ne g(f(a_2))$

Se la funzione composta $g\circ f$ è iniettiva, allora $f$ è iniettiva, ma non è detto che $g$ lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva $g\circ f:ℝ\to ℝ:x\to (e^x{)}^2$ è composizione di una funzione iniettiva $f:ℝ\to ℝ:x\to e^x$ e di una funzione non iniettiva $g:ℝ\to ℝ:x\to x^2$.

Se esistono due funzioni distinte $g,h:C\to A$ tali che $f\circ g=f\circ h$, allora $f$ non è iniettiva: infatti esiste un $c\in C$ con $g(c)\ne h(c)$, ma $f(g(c))=f(h(c))$.

Cardinalità

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettive

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito $A$ con $n$ elementi ad un insieme finito $B$ con $m$ elementi è pari al numero di disposizioni semplici di $m$ elementi, presi $n$ a $n$:

$\frac{m!}{(m-n)!}$.

Altre proprietà

• Se $f:A\to B$ è iniettiva, e $X$ e $Y$ sono sottinsiemi di A, allora $f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)$.

• Ogni funzione $f:A\to B$ può essere scomposta come composizione $f=h\circ g$ di una funzione suriettiva $g:A\to f(A)$ e di una funzione iniettiva $h:f(A)\to B$, definendo $g(a)=f(a)$ e $h(b)=b$.

Ulteriori caratterizzazioni dell'iniettività

Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione $f:A\to B$ e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.

• Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione $g:B\to A$ tale che $g\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_A.$
• Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme $T$ e per ogni funzione $g:T\to A,$ e $h:T\to A,$ tali che $f\circ g=f\circ h,$ si ha $g=h.$
• Identità della controimmagine dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni $S\subseteq A,$ si ha $f^{-1}(f(S))=S.$

Esempi

• Su ogni insieme $X$ la funzione identità $i{d}_X:X\to X:x\mapsto x$ è iniettiva (e suriettiva).
• L'inclusione $ı:Y\hookrightarrow X$ di un sottoinsieme $Y\subset X$ in $X$, essendo restrizione dell'identità $i{d}_X$, è iniettiva.
• Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, $f:\{x\}\to Y$, è iniettiva.
• Una funzione definita sull'insieme vuoto, $f:\mathrm{\varnothing }\to Y$, è iniettiva.
• Una funzione costante, $f_y:X\to Y:x\mapsto y$, definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
• Per $a,b\in ℝ$ e $a\ne 0$, la funzione $f:ℝ\to ℝ:x\mapsto ax+b$ è iniettiva (e suriettiva).
• La funzione esponenziale $\exp :ℂ\to ℂ$ non è iniettiva.
• La funzione esponenziale $\exp :ℝ\to ℝ$ è iniettiva.
• La funzione logaritmo, $\log :{ℝ}_0^{+}\to ℝ$, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, $f\in D^1(ℝ)$, la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, $f\in D^1(ℝ)$, la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
• La funzione quadrato $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}:x\mapsto x^2$ è iniettiva.
• La funzione quadrato $f:ℝ\to ℝ:x\mapsto x^2$ non è iniettiva.
• La funzione cubo $f:ℝ\to ℝ:x\mapsto x^3$ è iniettiva.
• La funzione cubo $f:{𝔽}_7\to {𝔽}_7:x\mapsto x^3$ non è iniettiva.
• Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione suriettiva
• Funzione biiettiva
• Immersione (matematica)

Collegamenti esterni

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