Composizione di funzioni

Template:F In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione $f$ tra due insiemi $X$ e $Y$ associa ogni elemento di $X$ a uno di $Y$: in presenza di un'altra funzione $g$ che associa ogni elemento di $Y$ a un elemento di un altro insieme $Z$, si definisce la composizione di $f$ e $g$ come la funzione che associa ogni elemento di $X$ a uno di $Z$ usando prima $f$ e poi $g$. Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).

Definizione

$g\circ f$, la composizione di $f$ e $g$

Formalmente, date due funzioni $f:X\to Y$ e $g:Y\to Z$ definiamo la funzione composta:

$g\circ f:X\to Z$

$(g\circ f)(x)=g(f(x))\mathrm{\forall }x\in X$

applicando prima $f$ ad $x$ e quindi applicando $g$ al risultato $f(x)$.

Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo $t$ sia data da una funzione $h(t)$ e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza $x$ sia data da un'altra funzione $c(x)$. Allora $(c\circ h)(t)=c(h(t))$ descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo $t$.

Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere $xfg$ invece di $g(f(x))$.

Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di $g$ coincida con il codominio di $f$. In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di $f$ e il dominio di $g$ abbiano un'intersezione non vuota.

Proprietà

La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se $f$, $g$ e $h$ sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.

La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.

L'insieme delle funzioni biettive $f:X\to X$, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità $(f(x)=x$ per ogni $x$) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di $X$. Se l'insieme $X$ contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.

Derivata delle funzioni composte

Template:Vedi anche La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":

$D[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

dove le notazioni $D[f(x)]$ e $f^{\prime }(x)$ indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

$𝐱(t)=(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t))t\in ℝ$

è un vettore di ${ℝ}^n$ le cui componenti sono funzioni derivabili:

${𝐱}^{\prime }(t)=(x{\text{'}}_1(t),x{\text{'}}_2(t),\dots ,x{\text{'}}_n(t))$

e se $f$ è una funzione differenziabile in $𝐱(t)$, allora la funzione composta:

$F(t)=f(𝐱(t))$

è differenziabile nella variabile $t$ e si ha:

$F^{\prime }(t)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f(𝐱(t))}{\partial x_i}x{\text{'}}_i(t)=(\mathrm{\nabla }F(𝐱),{𝐱}^{\prime }(t))$

dove $\mathrm{\nabla }$ è il gradiente di $f$ e $(,)$ è il prodotto scalare euclideo standard.

Infine, se $𝐟$ e $𝐠$ sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

$J[(𝐟\circ 𝐠)(x)]=J[𝐟(𝐠(x))]\cdot J[𝐠(x)]$

dove $\cdot$ è la moltiplicazione di matrici e $J[𝐟(x)]$ è la matrice jacobiana di $𝐟$.

Composizioni iterate

Una funzione $f:X\to X$ (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa $n$ volte, ed il risultato, detto iterata $n$-esima di $f$, può essere scritto $f^n$ quando non genera ambiguità. Ad esempio con ${\sin }^2(x)$ si denota comunemente il quadrato del seno di $x$, cioè $\sin (x{)}^2=\sin (x)\cdot \sin (x)$, anziché il valore in $x$ della composizione del seno con se stesso, cioè $(\sin \circ \sin )(x)=\sin (\sin (x))$.

Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando infinite volte una funzione.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Funzione inversa
• Anello di composizione
• Funzione di ordine superiore
• Lambda calcolo
• Diagramma a ragnatela
• Radice quadrata funzionale
• Analisi frazionaria
• Flusso (matematica)

Collegamenti esterni

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