Varietà simplettica

Template:F In matematica una varietà simplettica è una varietà differenziabile liscia munita di una 2-forma chiusa non degenere $\omega$, definita forma simplettica. Lo studio delle varietà simplettiche è denominato geometria simplettica. Esso deriva dalle formulazioni astratte della meccanica classica e della meccanica analitica, come il fibrato cotangente di una varietà, ad esempio nella riformulazione hamiltoniana della meccanica classica.

Una qualsiasi funzione differenziabile, $H$, a valori reali che lavora su una varietà simplettica fa da hamiltoniana o funzione energia. Ad ogni hamiltoniana è associato un campo vettoriale hamiltoniano; i moti naturali del sistema hamiltoniano sono soluzioni delle equazioni di Hamilton-Jacobi. Tramite il campo hamiltoniano è possibile definire un flusso sulla varietà simplettica, chiamato simplettomorfismo o flusso hamiltoniano. Per il teorema di Liouville, il flusso hamiltoniano preserva la forma volume sullo spazio delle fasi.

Definizione

Una forma simplettica su una varietà $M$ è una 2-forma differenziale non degenere chiusa, $\omega$. La coppia $(M,\omega )$ si chiama varietà simplettica. Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una base $X_i$ dello spazio tangente di $M$ in un punto, la matrice

${\mathrm{\Omega }}_{ij}=\omega (X_i,X_j)$

è invertibile (il determinante è diverso da 0). La richiesta di $\omega$ chiusa significa che

$d\omega =0$

dove $d$ è la derivata esterna.

Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una varietà simplettica; infatti $\mathrm{\Omega }$ è antisimmetrica, ossia ${\mathrm{\Omega }}_{ij}=-{\mathrm{\Omega }}_{ji}$, per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).

Sistema di coordinate canonico

Consideriamo una varietà simplettica $(M,\omega )$ con un sistema di coordinate, o una carta, denotata con la notazione $x^i$ dove $i=1,\dots ,2n$.

Definizione

Una carta $x^i$ si dice canonica, o sistema di coordinate canonico se accade che

$\omega =\sum _{i=1}^{n}d{x}^{n+i}\wedge d{x}^i$

spesso per il sistema di coordinate canonico si usa la notazione classica ponendo $x^i=q^i$ e $p_i=x^{n+i},$ con $i=1,\dots ,n,$ cosicché la forma simplettica si riscrive (usando la notazione di Einstein)

$\mathrm{\Omega }=d{p}_i\wedge d{q}^i.$

Teorema di Darboux

Template:Vedi anche Ogni varietà simplettica possiede un atlante formato da sistemi di coordinate canonici.

Varietà simplettica lineare

La varietà simplettica standard è ${ℝ}^{2n}$, siano $x^i,$ con $i=1,\dots ,2n,$ le coordinate cartesiane su ${ℝ}^{2n}$, con la forma simplettica data da

$\omega =\sum _{i=1}^{n}d{x}^i\wedge d{x}^{n+i}$

e in forma matriciale

$\omega =\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right].$

Questa particolare struttura simplettica è importante perché il teorema di Darboux dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.

Sottovarietà lagrangiane

Data una varietà simplettica $(M,\omega )$ di dimensione $2n$, di particolare importanza sono le sottovarietà lagrangiane. Una sottovarietà lagrangiana è definita come una sottovarietà $L\subset M$ di dimensione $n$ tale che $\omega$ è identicamente zero su ogni spazio tangente ad $L$. Vi sono numerosi esempi di sottovarietà lagrangiane, come la sezione zero del fibrato cotangente $T^{*}Q$ di una varietà $Q$ e il grafico di un simplettomorfismo $M\to N$ inteso come una sottovarietà di $M\times N$ con un'adeguata forma simplettica. Tale ubiquità le rende uno dei principali oggetti di studio della geometria simplettica, al punto che un motto di Alan Weinstein è "qualsiasi cosa è una sottovarietà lagrangiana".

Forma volume simplettico

Una varietà simplettica $(M,\omega )$ possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.

Definizione

Si definisce forma volume simplettico, o la forma di Liouville indotta da $\omega$ la

${\mathrm{\Xi }}_{\omega }\equiv \xi :=\frac{(-1{)}^{n(n-1)/2}}{n!}{\wedge }^n\omega .$

Utilizzando un sistema di coordinate canonico, che esiste sempre per il teorema di Darboux, la forma di Liouville assume l'aspetto

$\xi :=d{q}^1\wedge \cdots \wedge d{q}^n\wedge d{p}_1\wedge \cdots \wedge d{p}_n.$

Proprietà

1. Siccome tutte le forme volume inducono un'orientazione su una varietà anche $\xi$ porta un'orientazione sulla varietà simplettica che viene chiamata anche l'orientazione naturale di $M$.
2. La forma volume di Liouville induce una misura positiva sui borelliani di $M$. Definita

$|ℬ|=\underset{(q,p)(ℬ)}{\int }d{q}^1\cdots d{q}^{n}d{p}_1\cdots d{p}_n,$

dove $ℬ$ è un borelliano di $M$ e si è usato il sistema di coordinate canonico.

Gradienti simplettici

Sia $(M,\omega )$ una varietà simplettica e $H$ una funzione scalare su $M.$

Chiamiamo gradiente simplettico di $h$ il campo vettoriale $X$ su $M$ definito come l'unico campo vettoriale tale che

$\omega (X,\cdot )=-dH,$

dove $dH$ è il differenziale di $H$.

Sistema hamiltoniano

Notiamo che

$\omega (X,\cdot ):TM\to T^{*}M$

è biettiva per via della non degenerazione di $\omega ,$ allora è possibile definire un'applicazione inversa

$I:T^{*}M\to TM$

che prende il nome di tensore di Poisson tale che

$\omega (I\alpha ,\cdot )=\alpha ,$

dove $\alpha \in T^{*}M$.

Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come $X=IdH$ che prende anche il nome di campo vettoriale hamiltoniano e la relativa equazione differenziale associata prende il nome di equazione di hamilton di hamiltoniana $h$.

La terna $(M,\omega ,H)$ si chiama sistema hamiltoniano, e la varietà simplettica $(M,\omega )$ si definisce anche spazio delle fasi.

Collegamenti esterni

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