Teorema di Darboux

Template:Nota disambigua Template:F Il teorema di Darboux è un teorema dell'analisi matematica che prende il nome da Jean Gaston Darboux. Esso afferma che tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo.

È da notare che quando $f$ è differenziabile con derivata continua (cioè $f\in C^1([a,b])$) questo è implicitamente vero per il teorema dei valori intermedi, ma anche quando $f^{\prime }$ non è continua il teorema di Darboux pone forti limiti alle sue variazioni.

Teorema di Darboux

Sia $f:[a,b]\to ℝ$ una funzione continua a valori reali in $[a,b]$, che sia differenziabile in $(a,b)$. Allora $f^{\prime }$ soddisfa la proprietà del valore intermedio: per ogni $t$ compreso tra $f^{\prime }\left(a\right)$ e $f^{\prime }\left(b\right)$, esiste qualche $x$ in $[a,b]$ tale per cui $f^{\prime }\left(x\right)=t$.

Dimostrazione

Senza perdita di generalità si può supporre che $f{\text{'}}_{+}(a)>t>f{\text{'}}_{-}(b)$. Sia $g(x)=f(x)-tx$, allora $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-t$, quindi sostituendo, si ha $g{\text{'}}_{+}(a)>0>g{\text{'}}_{-}(b)$, e si vuole trovare uno zero di $g^{\prime }$.

Siccome $g$ è una funzione continua in $[a,b]$, per il teorema di Weierstrass possiede un massimo in $[a,b]$, ma questo massimo non può trovarsi in $a$, poiché $g{\text{'}}_{+}(a)>0$, quindi $g(x)>g(a)$ in un intorno destro di $a,$ e in modo del tutto simile non può trovarsi in $b$, poiché $g{\text{'}}_{-}(b)<0$, quindi $g(x)>g(b)$ in un intorno sinistro di $b$. Pertanto il massimo deve stare in un punto $c$ compreso in $(a,b)$ tale che $g^{\prime }(c)=0$ per il teorema di Fermat sui punti stazionari, da cui la tesi.

Voci correlate

• Jean Gaston Darboux
• Teorema dei valori intermedi

Collegamenti esterni

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