Numero p-adico

Il sistema dei numeri $p$-adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo $p$, il sistema dei numeri $p$-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri $p$-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei $p$-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo differenziale.

Più concretamente per un dato numero primo $p$, il campo ${\mathbb{Q}}_p$ dei numeri $p$-adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi ${\mathbb{Q}}_p$ vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri $p$-adici per ogni $p$. Il campo ${\mathbb{Q}}_p$ possiede una topologia indotta da una metrica, che è, a sua volta, indotta da una norma alternativa sui numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.

Nel campo delle curve ellittiche, i numeri $p$-adici sono conosciuti come numeri $\ell$-adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo $p$ è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.

Motivazioni

L'introduzione più semplice ai numeri $p$-adici è considerare i numeri $10$-adici, che sono gli interi con un infinito numero di cifre a sinistra. Si prenda per esempio il numero $\dots 9999$, dove i puntini a sinistra indicano un numero infinito di cifre "$9$", e si eseguano su di esso delle operazioni aritmetiche. Eseguendo la semplice operazione di sommare il numero $1$ (che in formato $p$-adico è $\dots 0001$), otteniamo:

$\frac{\genfrac{}{}{0ex}{}{\dots 9999}{+\dots 0001}}{\dots 0000}$

come si può facilmente vedere lavorando da destra a sinistra e riportando sempre un $1$. Per i numeri $10$-adici si ha quindi che $\dots 9999=-1$. Ne segue che gli interi negativi possono essere rappresentati come una serie di cifre, dove quelle a sinistra sono $9$. Gli avvezzi all'informatica avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione complemento a due, nella quale i numeri negativi sono scritti con una serie di $1$ a sinistra; nei $2$-adici avviene esattamente la stessa cosa. In generale, si avrà la cifra $p-1$ per i numeri $p$-adici.

Costruzione

Approccio analitico

L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di $\mathbb{Q}$ non la norma euclidea, ma appunto la norma p-adica definita da:

$||x|{|}_p=\frac{1}{p^n},$

dove $n\in \mathbb{Z}$ e $x\in \mathbb{Q}$ è scritto in forma irriducibile, cioè tale che $x=p^n\frac{a}{b}$, con $a$ e $b$ interi tali che $p\nmid a$ e $p\nmid b$.

Questa norma induce di conseguenza una distanza e quindi si può parlare di convergenza di successioni.

In questo modo i numeri $p$-adici ${\mathbb{Q}}_p$ vengono definiti come il completamento secondo Cauchy di $\mathbb{Q}$ con la norma $p$-adica. I numeri $p$-adici di norma minore o uguale a $1$ sono detti interi $p$-adici e l'insieme di tutti gli interi $p$-adici, in genere indicato con ${\mathbb{Z}}_p$, forma un sottoanello di ${\mathbb{Q}}_p.$

Viene definita anche la valutazione $p$-adica come la valutazione:

$v_p(a)={\log }_{\frac{1}{p}}||a|{|}_p.$

Approccio algebrico

L'approccio algebrico consiste nel considerare ${\mathbb{Q}}_p$ come il campo delle frazioni di ${\mathbb{Z}}_p$, che a sua volta è il limite proiettivo di $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$.

La caratteristica di ${\mathbb{Q}}_p$ è $0$ ed infatti il suo sottocampo fondamentale è $\mathbb{Q}$, e che $\mathbb{Q}\subset {\mathbb{Q}}_p$ si vede immediatamente dalla costruzione analitica.

Rappresentazione

Un modo comune di rappresentare un numero $p$-adico $a\in {\mathbb{Q}}_p$ è il seguente:

$a=\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i,$

con $a_n\ne 0$, dove $n\in \mathbb{Z}$ non è altro che la valutazione $p$-adica $v_p(a)$ e $0\le a_i\le p-1$ per ogni $i$.

La convergenza di questa serie è garantita dal fatto che con la norma $p$-adica

$\underset{m\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i=0.$

A volte viene utilizzata anche la seguente rappresentazione: $a=(a_{-k}{a}_{-k+1}\dots a_0,a_1\dots a_n\dots )$ dove gli $a_i$ sono i coefficienti della serie precedentemente considerata. Da notare la virgola presente dopo $a_0$, i numeri precedenti alla virgola sono in numero finito, mentre quelli successivi in numero infinito, eventualmente si possono ripetere da un certo punto in poi in modo periodico.

Collegamenti esterni

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