Trasformazione politropica

Una trasformazione politropica è una trasformazione termodinamica che segue la legge:^[1]

p V^{n} = c o s t .

dove:

$p$ : pressione del fluido
$V$ : volume specifico
$n$ : esponente caratteristico (o anche numero caratteristico) della politropica.

Tra l'esponente caratteristico della politropica n e il calore specifico c intercorre la relazione $n = (c_{p} - c) / (c_{v} - c)$ ove c_p e c_v sono rispettivamente i calori specifici a pressione costante e a volume specifico costante.

La politropica è una legge valida nell'ipotesi di una trasformazione quasistatica valida sia per i gas perfetti che per i gas reali.

Particolari valori dell'esponente caratteristico

Politropiche notevoli sul piano di Clapeyron.

La trasformazione politropica generalizza quattro trasformazioni quasistatiche fondamentali: isoentropica, isobara, isocora, isoterma. In base all'esponente caratteristico n si ottiene:

$n = 0$ , $c = c_{p}$ e la trasformazione è isobara (p=cost)

$n = 1$ , $d T = 0$ quindi $c = \pm \infty$ e la trasformazione è isoterma (pv=cost)^[2]

$n = \pm \infty$ , $c = c_{v}$ e la trasformazione è isocora (v=cost)^[3]

$n = k$ , $δ Q = 0$ quindi $c = 0$ e la trasformazione è adiabatica e isoentropica $p V^{k} = cost.$ ^[4].

Il calore specifico è negativo per $1 < n < k$ ovvero per trasformazioni comprese tra l'isoterma e l'adiabatica.

Trasformazione politropica di gas perfetto

Dato un gas a comportamento perfetto vale la relazione pv=RT dove R è la costante specifica dei gas e non quella universale e dipende dal tipo di gas. Componendo questa relazione con quella della politropica si ottengono altre due espressioni della trasformazione politropica valide solo nell'ipotesi di gas perfetto:

$T V^{n - 1} = cost$
$T p^{\frac{1 - n}{n}} = cost$

Calore specifico

Il calore specifico viene definito come:

c = \frac{δ q}{d T}

dove $δ q$ è il calore per unità di massa e $δ$ indica un differenziale non esatto.

Non è detto che per una trasformazione politropica $c$ sia costante, lo è solo nel caso di gas ideale^[5].

Nel caso di gas perfetto sottoposto a trasformazione politropica si può dimostrare^[6] che (con k=cost):

c = c_{v} \cdot \frac{n - k}{n - 1}

Si noti, tramite la relazione di Mayer, che $k = \frac{c_{p}}{c_{v}} = 1 + \frac{R}{c_{v}}$ e quindi k è maggiore dell'unità.

Lavoro di variazione di volume

Il lavoro specifico si calcola come:

\int_{1}^{2} p d V = p_{1} V_{1}^{n} \int_{1}^{2} \frac{d V}{V^{n}}

da cui si ottiene:

L = {\begin{matrix} \frac{p_{1} V_{1}}{n - 1} [1 - {(\frac{V_{1}}{V_{2}})}^{n - 1}] & se n \neq 1 \\ p_{1} V_{1} \ln (\frac{V_{2}}{V_{1}}) & se n = 1 \end{matrix}

.

Per ottenere il lavoro totale basta moltiplicare per la massa del sistema. La prima espressione vale per qualsiasi fluido sottoposto a trasformazione politropica, nel caso di gas a comportamento perfetto valgono le seguenti relazioni:

$L = \frac{R}{n - 1} (T_{1} - T_{2}) se n \neq 1$
$L = {\begin{matrix} \frac{R T_{1}}{n - 1} [1 - {(\frac{p_{2}}{p_{1}})}^{\frac{n - 1}{n}}] & se n \neq 1 \\ R T_{1} \ln (\frac{p_{1}}{p_{2}}) & se n = 1 \end{matrix}$ .

Note

↑ Template:En DOE Fundamentals Handbook - "Thermodynamics, Heat transfer, and fluid flow", p. 29. Template:Webarchive
↑ per la trasformazione isoterma: vale che $d T = 0$ , $c \to \infty$ in base alla definizione di calore specifico, e $n \to 1$ . Quindi, nel caso della trasformazione isoterma, l'espressione di una trasformazione politropica si riconduce alla Legge di Boyle-Mariotte.
↑ $p V^{n} = cost \Leftrightarrow p^{\frac{1}{n}} V = cost.$ se $n = \pm \infty \Rightarrow V = cost.$
↑ per un'adiabatica $δ q = 0 \Rightarrow c = \frac{δ q}{d T} = 0 \Rightarrow n = k$ per l'espressione $c = c_{v} \cdot \frac{n - k}{n - 1}$ , precisamente si tratta di una trasformazione isoentropica ovvero un'adiabatica reversibile
↑ Si definisce "gas ideale" un gas perfetto in cui $c_{v}$ e $c_{p}$ sono costanti
↑ $δ q = d u + p d v = c_{v} d T + p d v \Rightarrow c = c_{v} + p \frac{d v}{d T}$ siccome il gas è perfetto derivando l'espressione $T V^{n - 1} = cost$ si ottiene $T (n - 1) d v + v d T = 0 \Rightarrow \frac{d v}{d T} = - \frac{v}{(n - 1) T}$ da cui $c = c_{v} - \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{p v}{T} = c_{v} - \frac{R}{n - 1} = \frac{n c_{v} - c_{p}}{n - 1} = c_{v} \cdot \frac{n - k}{n - 1}$

Bibliografia

Template:Cita libro

Voci correlate

Template:Portale

[1] Template:En DOE Fundamentals Handbook - "Thermodynamics, Heat transfer, and fluid flow", p. 29. Template:Webarchive

[2] r la trasformazione isoterma: vale che $d T = 0$ , $c \to \infty$ in base alla definizione di calore specifico, e $n \to 1$ . Quindi, nel caso della trasformazione isoterma, l'espressione di una trasformazione politropica si riconduce alla Legge di Boyle-Mariotte.

[3] $p V^{n} = cost \Leftrightarrow p^{\frac{1}{n}} V = cost.$ se $n = \pm \infty \Rightarrow V = cost.$

[4] r un'adiabatica $δ q = 0 \Rightarrow c = \frac{δ q}{d T} = 0 \Rightarrow n = k$ per l'espressione $c = c_{v} \cdot \frac{n - k}{n - 1}$ , precisamente si tratta di una trasformazione isoentropica ovvero un'adiabatica reversibile

[5] Si definisce "gas ideale" un gas perfetto in cui $c_{v}$ e $c_{p}$ sono costanti

[6] $δ q = d u + p d v = c_{v} d T + p d v \Rightarrow c = c_{v} + p \frac{d v}{d T}$ siccome il gas è perfetto derivando l'espressione $T V^{n - 1} = cost$ si ottiene $T (n - 1) d v + v d T = 0 \Rightarrow \frac{d v}{d T} = - \frac{v}{(n - 1) T}$ da cui $c = c_{v} - \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{p v}{T} = c_{v} - \frac{R}{n - 1} = \frac{n c_{v} - c_{p}}{n - 1} = c_{v} \cdot \frac{n - k}{n - 1}$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Trasformazione politropica

Indice

Particolari valori dell'esponente caratteristico

Trasformazione politropica di gas perfetto

Calore specifico

Lavoro di variazione di volume

Note

Bibliografia

Voci correlate

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