Gas ideale

In un diagramma p-V (piano di Clapeyron), le isoterme di un gas ideale sono rappresentate da iperboli equilatere.

Un gas ideale, o gas perfetto, è un gas descritto dall'equazione di stato dei gas perfetti, e che quindi rispetta la legge di Boyle-Mariotte, la prima legge di Gay-Lussac o legge di Charles, e la seconda legge di Gay-Lussac, in tutte le condizioni di temperatura, densità e pressione. In questo modello le molecole del gas sono assunte puntiformi e non interagenti. I gas reali si comportano con buona approssimazione come gas perfetti quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta.

Proprietà di un gas ideale

Per gas ideale si intende un gas che possieda le seguenti proprietà:

• le molecole sono puntiformi e pertanto hanno un volume trascurabile;
• le molecole interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente mediante urti perfettamente elastici (ovvero non vi è dispersione di energia cinetica durante gli urti);
• non esistono forze di interazione a distanza tra le molecole del gas: le molecole si dicono "non interagenti";
• le molecole del gas sono identiche tra loro e indistinguibili;
• il moto delle molecole è casuale e disordinato in ogni direzione, ma soggetto a leggi deterministiche.

In conseguenza di ciò:

• il gas non può essere liquefatto per sola compressione, ossia non subisce trasformazioni di stato;
• il calore specifico è funzione della temperatura;
• l'energia interna è data solamente dall'energia cinetica, non da quella potenziale; essa rimane costante e non viene dissipata.

In un gas ideale l'energia cinetica media delle molecole del gas è direttamente proporzionale alla temperatura:

$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2\propto T$

I gas reali vengono descritti dalla legge dei gas perfetti con buona approssimazione solo quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta. In caso contrario è valida la legge dei gas reali.

Energia interna

La variazione dell'energia interna è una funzione di stato, ossia ha la proprietà di dipendere solo dal suo stato iniziale e finale e non dal percorso compiuto. In generale l'energia interna è una funzione sia della temperatura che del volume, differenziando si ottiene quindi:

$dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)dT+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)dV$

Considerando i risultati matematici dell'esperienza di Joule per l'espansione libera di un gas perfetto:

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)=0$

$\left(\frac{\partial U}{\partial p}\right)=0$

e sostituendo nel differenziale precedentemente calcolato, si ottiene:

$dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)dT$

Ovvero per i gas perfetti l'energia interna è funzione solamente della temperatura.

Definendo come $C_V$ la capacità termica a volume costante, allora per una trasformazione isocora dal primo principio della termodinamica si ha che:

$dU=\delta Q=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)dT=C_{v}dT$

dove $\delta Q$ è il calore scambiato dal gas con l'ambiente durante la trasformazione. Assumendo che la capacità termica è costante con la temperatura, e usando la legge dei gas perfetti, allora il primo principio della termodinamica può essere riscritto per i gas ideali e per trasformazioni quasistatiche come

$\delta Q=C_{v}dT+nRT\frac{dV}{V}$

dove $R$ è la costante universale dei gas e $n$ è il numero di moli di gas.

Entropia

Template:Vedi anche Si consideri una trasformazione reversibile che porti $n$ moli di gas perfetto da uno stato con pressione, volume e temperatura $(p_A,V_A,T_A)$ ad uno stato finale $(p_B,V_B,T_B)$. La quantità infinitesima di calore scambiata nella trasformazione è data da:

$dQ=n{c}_{V}dT+nRT\frac{dV}{V}$

dove $c_V$ è il calore specifico a volume costante.

Ricordando che la variazione di entropia è data da:

$S_B-S_A=\underset{A}{\overset{B}{\int }}{\left(\frac{dQ}{T}\right)}_{rev}$,

allora la variazione si entropia nel passaggio dallo stato iniziale $A$ allo stato finale $B$ è data da:

$S_B-S_A=\underset{A}{\overset{B}{\int }}n{c}_V\frac{dT}{T}+\underset{A}{\overset{B}{\int }}nR\frac{dV}{V}$.

Integrando si ottiene:

$S_B-S_A=n{c}_V\ln \left(\frac{T_B}{T_A}\right)+nR\ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right)$.

Utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti e la relazione di Mayer, ed operando le opportune sostituzioni, è possibile riscrivere la relazione appena trovata anche in termini di pressione e di calore specifico a pressione costante:

$S_B-S_A=n{c}_p\ln \left(\frac{T_B}{T_A}\right)-nR\ln \left(\frac{p_B}{p_A}\right)$

$S_B-S_A=n{c}_V\ln \left(\frac{p_B}{p_A}\right)+n{c}_p\ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right)$.

Si ricordi che in questi calcoli il calore specifico è stato assunto come costante della temperatura.

Entalpia

Per il gas ideale anche l'entalpia è funzione solamente della temperatura:

$dH=C_{p}dT$

dove $C_p$ è la capacità termica a pressione costante. Dalla relazione di Mayer per un gas ideale:

$C_p=C_v+nR$

e considerando che:

$dU=C_{v}dT$

si evince che per un gas perfetto vale la relazione:

$dH=dU+nRdT$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Gas reale
• Equazione di stato dei gas perfetti
• Relazione di Mayer
• Fluido ideale
• Miscela ideale