Somma di Eulero

Template:S In matematica, la somma di Eulero è un metodo alternativo per la sommabilità delle serie. Data una serie Σa_n, essa si dirà sommabile secondo Eulero se converge la sua trasformata di Eulero.

La somma di Eulero può essere generalizzata tramite un insieme di metodi (E, q), dove q ≥ 0. La somma (E, 0) è l'ordinario limite delle somme parziali della successione, mentre (E, 1) è la somma di Eulero. Tutti questi metodi sono strettamente più deboli della somma di Borel; per q > 0 essi sono incomparabili alla somma di Abel.

Definizione

La (E, y) somma di Eulero di una successione è definita come

${}_{E_y}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j:=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{a}_j.$

Vale per la somma di Eulero la seguente formula:

${}_{E_{y_1}}\sum {}_{E_{y_2}}\sum ={}_{E_{\frac{y_1{y}_2}{1+y_1+y_2}}}\sum$

Bibliografia

• Jacob Korevaar, Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer, 2004. ISBN 3-540-21058-X
• Bruce Shawyer e Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP, 1994. ISBN 0-19-853585-6

Voci correlate

• Somma di Borel
• Eulero