Trasferimento alla Hohmann

Trasferimento alla Hohmann in cui $R^{\prime }$ > $R$

In astronautica e in ingegneria aerospaziale, il trasferimento alla Hohmann ideato nel 1925 rappresenta una manovra orbitale che permette a un satellite artificiale di trasferirsi da un'orbita circolare a una seconda orbita circolare complanare e confocale alla prima. Questa manovra è monoellittica bitangente: monoellittica in quanto nel trasferimento si percorre una semiellisse, e bitangente in quanto l'ellisse è tangente sia all'orbita iniziale che a quella finale, nei suoi punti absidali.

Un esempio di un'orbita di trasferimento di Hohmann tra la Terra e Marte, come utilizzata dalla missione NASA InSight Legenda:
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Il trasferimento alla Hohmann è il trasferimento con il più basso consumo di delta-v se il rapporto tra $r_f$ ed $r_i$ è minore o uguale a 12, dove $r_i$ è il raggio dell'orbita circolare iniziale ed $r_f$ è il raggio dell'orbita circolare finale; altrimenti è più conveniente un trasferimento biellittico bitangente.

Il suo tipico utilizzo è quello che porta un satellite da una orbita terrestre bassa a una geostazionaria. La manovra si compie in circa 5 ore, ed è chiamata trasferimento in orbita geostazionaria (GTO).

Sia l'orbita iniziale che quella finale sono circolari, mentre quella che permette il trasferimento è un'orbita ellittica, complanare e confocale alle due circolari, che è tangente alle stesse. Nel caso del trasferimento GTO, con un primo delta-v positivo il satellite si posiziona istantaneamente al perigeo dell'orbita ellittica, mentre con un secondo delta-v positivo dato all'apogeo dell'orbita di trasferimento ellittica (punto 3 della figura) viene circolarizzata l'orbita.

Caratteristiche

• È una manovra confocale e complanare: le tre coniche hanno come fuoco il pianeta attrattore;
• È una manovra monoellittica: l'orbita di trasferimento è una semiellisse di semiasse $a$;
• È una manovra bitangente: i delta-v impulsivi sono forniti dall'apparato propulsivo nei due punti absidali dell'ellisse di trasferimento, quindi le tre orbite sono tangenti;

Calcolo del trasferimento

Si considera il trasferimento alla Hohmann tra un'orbita iniziale di raggio $r_1$ e un'orbita finale di raggio $r_2$. È ammissibile sia un valore $r_2$ maggiore di $r_1$ (come ad esempio il trasferimento da un'orbita di parcheggio a un'orbita geostazionaria) che $r_1$ maggiore di $r_2$. La velocità sulla prima orbita circolare è in modulo, in ogni suo punto,

$v_1=\sqrt{\frac{\mu }{r_1}}$

dove $\mu$ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore. Dall'equazione di conservazione dell'energia orbitale specifica si può ricavare il modulo della velocità nello stesso punto, ma riferito all'orbita ellittica di trasferimento:

$v_{t1}=\sqrt{\mu (\frac{2}{r_1}-\frac{2}{r_1+r_2})}$

La differenza tra il valore della velocità di trasferimento e la velocità dell'orbita circolare fornisce il valore del delta-v impulsivo

$\mathrm{\Delta }{v}_A=\sqrt{\frac{\mu }{r_1}}(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1)$,

Allo stesso modo, percorsa la semiellisse di trasferimento, occorre fornire un secondo delta-v impulsivo per circolarizzare l'orbita finale su $r_2$, ovvero

$\mathrm{\Delta }{v}_B=\sqrt{\frac{\mu }{r_2}}(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}})$

Il valore dei delta-v risulterà positivo se l'orbita si porta in una circolare di raggio più grande rispetto alla prima, mentre sarà negativo (in direzione) se avviene l'opposto. Naturalmente in entrambi i casi i delta-v sono forniti dall'impianto propulsivo, ed il costo della manovra risulterà la somma dei moduli dei due delta-v.

$\Vert \mathrm{\Delta }{v}_H\Vert =\Vert \mathrm{\Delta }{v}_A\Vert +\Vert \mathrm{\Delta }{v}_B\Vert$

Tempo di volo

Il tempo di trasferimento è ricavabile dalla Terza legge di Keplero:

$t_{tr}=\pi \sqrt{{(r_1+r_2)}^3/8\mu }$

$\mu$ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore.

Collegamenti esterni

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