Teoria dei caratteri

In matematica la teoria dei caratteri è una branca della teoria delle rappresentazioni dei gruppi ed è molto usata in teoria dei numeri; in particolare è fondamentale per la dimostrazione del teorema di Dirichlet e del teorema di Burnside.

Definizione di carattere

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ e sia $\rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ una rappresentazione del gruppo $G$ su $V$. Il carattere della rappresentazione $\rho$ è, per definizione, la mappa ${\chi }_{\rho }:G\to K$ che manda $g\in G$ nella traccia della matrice rappresentativa dell'automorfismo $\rho (g)$:

${\chi }_{\rho }(g)=\text{Tr}(\rho (g)).$

Proprietà

Il carattere di una trasformazione presenta alcune particolari proprietà.

Sia $\rho$ una rappresentazione del gruppo $G$ sullo spazio vettoriale $V$ e sia ${\chi }_{\rho }$ il suo carattere allora possiamo dire che:

1. $\chi (1_G)$ è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale $V$ infatti:

   $\chi (1_G)=\mathrm{T}\mathrm{r}(\rho (1_G))=\mathrm{T}\mathrm{r}(1_{\mathrm{G}\mathrm{L}(V)})$

   e dato che $1_{\mathrm{G}\mathrm{L}(V)}$ è la matrice identica dello spazio vettoriale $V$ la sua traccia è uguale alla sua dimensione.
2. $\chi$ è costante sulle classi di coniugio. In altre parole se $x$ e $g$ sono due elementi di G, si ha $\chi (g^{-1}xg)=\chi (x)$. Il motivo è che la traccia è invariante per similitudine, cioè matrici simili hanno la stessa traccia.
3. Due rappresentazioni $\rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ e $\pi :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(U)$ si dicono isomorfe se esiste un isomorfismo $\varphi :V\to U$ tale che:

   $\varphi \circ \pi (g)\circ {\varphi }^{-1}=\rho (g)$

   per ogni elemento $g$ del gruppo $G$. Quindi se $\pi$ e $\rho$ sono isomorfe allora, poiché la traccia è invariante per similitudine, avranno lo stesso carattere (${\chi }_{\pi }={\chi }_{\rho }$).
4. Se $G$ è un gruppo finito di ordine $n$ allora $\chi (g)$ appartiene al sovracampo di $K$ generato dalle radici $n$-esime di $1$. Infatti poiché $g^n=1$ per ogni $g\in G$ si ha anche $\rho (g{)}^n=1$ per ogni $g\in G$ e quindi gli autovalori di $\rho (g)$ sono radici $n$-esime di $1$.

Carattere di una somma diretta

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sul campo $K$ e $\pi :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$, $\rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(W)$ due rappresentazioni di $G$. Se definiamo ${\pi }_g:=\pi (g)$ e ${\rho }_g:=\rho (g)$, la somma diretta di $\pi$ e $\rho$ è la rappresentazione

$\pi \oplus \rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V\oplus W)$

definita così:

$(\pi \oplus \rho {)}_g:={\pi }_g\oplus {\rho }_g,$

dove ${\pi }_g\oplus {\rho }_g$ è l'applicazione che manda $(v,w)$, appartenente $V\times W$, in $({\pi }_{g}v,{\rho }_{g}w)$, sempre appartenente a $V\times W$.

Si ha evidentemente

${\chi }_{\pi \oplus \rho }(g)=\mathrm{T}\mathrm{r}((\pi \oplus \rho {)}_g)=\mathrm{T}\mathrm{r}({\pi }_g\oplus {\rho }_g)=\mathrm{T}\mathrm{r}({\pi }_g)+\mathrm{T}\mathrm{r}({\rho }_g)={\chi }_{\pi }(g)+{\chi }_{\rho }(g),$

questo per ogni $g$ in $G$ e quindi:

${\chi }_{\pi \oplus \rho }={\chi }_{\pi }+{\chi }_{\rho }.$

Carattere di un prodotto tensoriale

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sul campo $K$ e $\pi :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$, $\rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(W)$ due rappresentazioni di $G$. Se definiamo $\pi (g)={\pi }_g$ e $\rho (g)={\rho }_g$, il prodotto tensoriale di $\pi$ e $\rho$ è la rappresentazione

$\pi \otimes \rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V{\otimes }_{K}W)$

definita così:

$(\pi \otimes \rho {)}_g:={\pi }_g\otimes {\rho }_g,$

dove ${\pi }_g\otimes {\rho }_g$ manda

$\sum _i{v}_i\otimes w_i$

in

$\sum _i{\pi }_g(v_i)\otimes {\rho }_g(w_i).$

Tale prodotto tensoriale ha la proprietà seguente: se $x$ e $y$ sono le matrici di due applicazioni lineari $f:V\to V$, $g:W\to W$ rispetto alle basi $\{v_i|i\}$ di $V$ e $\{w_i|i\}$ di $W$, il loro prodotto tensoriale $f\otimes g$ è rappresentato dal prodotto di Kronecker di $x$ e $y$, indicato con $x\otimes y$, rispetto alla base $\{v_i\otimes w_j|i,j\}$ di $V{\otimes }_{K}W$.

Dalla proprietà

$\mathrm{t}\mathrm{r}(x\otimes y)=\mathrm{t}\mathrm{r}(x)\mathrm{t}\mathrm{r}(y)$

segue che

${\chi }_{\pi \otimes \rho }={\chi }_{\pi }\cdot {\chi }_{\rho }.$

Carattere della potenza simmetrica seconda

Dato uno spazio vettoriale $V$ su $K$ di dimensione $n$, la potenza simmetrica $m$-esima di $V$ è lo spazio vettoriale su $K$, indicato con $S^m(V)$, generato dai prodotti simmetrici del tipo $v_1\cdot \dots \cdot v_m$ dove i $v_i$ appartengono a $V$ e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni mappa lineare $\phi :V\to W$ si può associare la sua potenza simmetrica $m$-esima

$S^m(\phi ):S^m(V)\to S^m(W)$

mandando $v_1\dots v_m$ in $\phi (v_1)\dots \phi (v_m)$.

Se $\{e_1,\dots e_n\}$ è una base di $V$ allora una base di $S^m(V)$ è data dai prodotti ${e_1}^{i_1}\cdot \dots \cdot {e_n}^{i_n}$ dove $i_1+\dots +i_n=m$. Si ha quindi:

${\dim }_K(S^m(V))=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m}).$

Ad ogni rappresentazione $\rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ possiamo associare la rappresentazione $S^m(\rho ):G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(s^m(V))$ definita mandando $g$ in $S^m(\rho (g))$. Se $m=2$, si ha

${\chi }_{S^2(\rho )}(g)=\frac{1}{2}({\chi }_{\rho }(g{)}^2+{\chi }_{\rho }(g^2))$

Carattere della potenza esterna seconda

Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, di dimensione $n$ e con la base $\{v_1,\dots v_n\}$, la potenza esterna $m$-esima di $V$ è lo spazio vettoriale su $K$ indicato con ${\mathrm{\Lambda }}^m(V)$ e generato dai prodotti multilineari alternanti $v_1\wedge \dots \wedge v_m$ dove i $v_i$ sono vettori di $V$ e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni applicazione $\phi :V\to W$ si può associare la sua potenza esterna $m$-esima ${\mathrm{\Lambda }}^m(\phi ):{\mathrm{\Lambda }}^m(V)\to {\mathrm{\Lambda }}^m(W)$ mandando $v_1\wedge \dots \wedge v_m$ in $\phi (v_1)\wedge \dots \wedge \phi (v_m)$.

Se $\{e_1,\dots ,e_n\}$ è una base per $V$ allora una base di ${\mathrm{\Lambda }}^m(V)$ è data dai prodotti $e_{i_1}\wedge \dots \wedge e_{i_m}$ dove $i_1<\dots <i_m\in \{1,\dots ,n\}$. Si ha quindi

${\dim }_K({\mathrm{\Lambda }}^m(V))=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$

Ad ogni rappresentazione $\rho :G\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ possiamo associare la rappresentazione ${\mathrm{\Lambda }}^m(\rho ):G\to \mathrm{G}\mathrm{L}({\mathrm{\Lambda }}^m(V))$ definita mandando $g$ in ${\mathrm{\Lambda }}^m({\rho }_g)$. Si ha

${\chi }_{{\mathrm{\Lambda }}^2(\rho )}(g)=\frac{1}{2}({\chi }_{\rho }(g{)}^2-{\chi }_{\rho }(g^2)).$

Relazioni di ortogonalità

Siano $(U,\pi )$, $(V,\rho )$ due rappresentazioni del gruppo finito $G$ sul campo $K$, e sia $\phi :U\to V$ un'applicazione lineare. Nel caso in cui la caratteristica di $K$ non divide l'ordine di $G$ definiamo

${\phi }_0:=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{\rho }_g\phi {\pi }_g^{-1}.$

Si tratta di un'applicazione K-lineare $U\to V$, ed ha la proprietà fondamentale di essere $G$-invariante, nel senso che ${\phi }_0({\pi }_h(u))={\rho }_h({\phi }_0(u))$ per ogni $h\in G$, $u\in U$.

Nel caso particolare in cui il campo $K$ è algebricamente chiuso e le rappresentazioni $(U,\pi )$, $(V,\rho )$ sono irriducibili, il lemma di Schur ci dice che:

1. se $\pi \cong ̸\rho$ allora ${\phi }_0=0$;
2. se $\pi =\rho$ allora ${\phi }_0$ è la moltiplicazione per lo scalare $\mathrm{t}\mathrm{r}(\phi )/{\dim }_K(V)$.

La seconda asserzione è giustificata dal fatto che detto $\lambda$ l'autovalore di ${\phi }_0$ si ha

$\lambda {\dim }_K(V)=\mathrm{t}\mathrm{r}({\phi }_0)=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{\rho }_g\phi {\rho }_g^{-1}\right)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\mathrm{t}\mathrm{r}({\rho }_g\phi {\rho }_g^{-1})=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\mathrm{t}\mathrm{r}(\phi )=\mathrm{t}\mathrm{r}(\phi ).$

Pensiamo ora a ${\pi }_g,{\rho }_g$ come a matrici ed indichiamone le componenti con ${\pi }_{ij}(g)$ e ${\rho }_{hk}(g)$ con $1\le i$, $j\le m$, $1\le h$, $k\le n$. Se $K$ è un campo algebricamente chiuso di caratteristica che non divide l'ordine di $G$, le precedenti asserzioni tradotte in termini matriciali diventano le seguenti.

1. Se $\pi \cong ̸\rho$ allora

   $\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{\pi }_{ij}(g){\rho }_{hk}(g^{-1})=0.$

2. Se $\pi =\rho$ allora

   $\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{\pi }_{ij}(g){\pi }_{hk}(g^{-1})=\frac{1}{n}{\delta }_{ik}{\delta }_{jh}.$

Qui il simbolo ${\delta }_{ij}$ è il delta di Kronecker.

Prima relazione di ortogonalità

Sia $K$ un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Ricordiamo che per il teorema di Maschke ogni carattere di un generico gruppo $G$ sul campo $K$ si scrive come somma di caratteri irriducibili.

Consideriamo la seguente forma bilineare simmetrica non degenere sullo spazio vettoriale delle funzioni $G\to K$:

$B(\varphi ,\psi ):=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\varphi (g)\psi (g^{-1}).$

Il risultato precedente implica che se $\chi$ e $\theta$ sono due caratteri irriducibili relativi a due rappresentazioni di un gruppo finito $G$ sugli spazi vettoriali $V$, $W$, entrambi nel campo $K$, il valore di $B(\chi ,\theta )$ è 1 se $\chi =\theta$ ed è 0 se $\chi \ne \theta$. Questo risultato prende il nome di prima relazione di ortogonalità di Schur.

La prima relazione di ortogonalità ha conseguenze di estrema importanza:

1. Caratteri irriducibili distinti sono linearmente indipendenti. Siano infatti ${\chi }_1,\dots ,{\chi }_s$ caratteri irriducibili distinti del gruppo finito $G$, e valga $a_1{\chi }_1+\dots +a_s{\chi }_s=0$ con $a_1,\dots ,a_s\in K$. Allora per ogni $i=1,\dots ,s$ si ha

   $0=B(a_1{\chi }_1+\dots +a_s{\chi }_s,{\chi }_i)=a_{i}B({\chi }_i,{\chi }_i)=a_i$.

2. Il numero di caratteri irriducibili di $G$ è minore o uguale del numero di classi di coniugio di $G$. Siano infatti $C_1,\dots ,C_t$ le classi di coniugio di $G$. Data $C=C_i$ possiamo considerare la funzione $f_C:G\to K$ che vale 1 su $C$ e 0 fuori da $C$. Risulta che le funzioni $f_{C_1},\dots ,f_{C_t}$ sono linearmente indipendenti ed ogni carattere è combinazione lineare di esse, quindi per il punto precedente i caratteri irriducibili di $G$ sono al più $t$.
3. Siano $\theta$ e $\chi$ i caratteri delle rappresentazioni irriducibili $U$ e $V$ di $G$, ed assumiamo che $\chi$ sia irriducibile. Allora la molteplicità di $\chi$ in $\theta$ è uguale a $B(\theta ,\chi )$. In altre parole detti ${\chi }_1,\dots ,{\chi }_s$ caratteri irriducibili tali che $\theta ={\chi }_1+\dots +{\chi }_s$ (esistono per il teorema di Maschke), si ha che

   $B(\theta ,\chi )=B({\chi }_1,\chi )+\dots +B({\chi }_s,\chi )$

   inoltre $B({\chi }_i,\chi )$ vale $1$ se e solo se ${\chi }_i=\chi$, altrimenti vale $0$. In particolare la scrittura di un carattere come somma di caratteri irriducibili è unica.
4. Sia $\chi$ un carattere di $G$. Si ha $B(\chi ,\chi )\in \mathbb{N}$ e $B(\chi ,\chi )=1$ se e solo se $\chi$ è irriducibile. Infatti detta $\chi =m_1{\chi }_1+\dots +m_s{\chi }_s$ la decomposizione di $\chi$ come somma di caratteri irriducibili, si ha:

   $B(\chi ,\chi )=m_1^2+\dots +m_s^2.$

5. Si dice carattere principale di $G$ e si indica con ${\chi }_1$ o più semplicemente con $1$ il carattere tale che ${\chi }_1\left(g\right)=1$ per ogni $g\in G$. Si tratta di un carattere irriducibile dato che $B(1,1)=1$. Per ogni carattere irriducibile $\chi$ diverso da $1$ la prima relazione di ortogonalità dice che $B(\chi ,1)=0$, è cioè la seguente uguaglianza:

   $\sum _{g\in G}\chi (g)=0.$

6. Il lemma di Burnside dice semplicemente che dato un carattere di permutazione $\chi$ relativo ad un'azione transitiva si ha $B(\chi ,1)=1$, ovvero $\chi =1+\theta$ per un opportuno carattere $\theta$ che non ha 1 nella decomposizione. Siccome

   $B(\chi -1,\chi -1)=B(\chi ,\chi )-1=r-1$

   dove $r$ è il rango del gruppo di permutazione $G$, possiamo per esempio dedurre che $G$ è 2-transitivo se e solo se il suo carattere si scrive come $1+\theta$ per qualche carattere irriducibile $\theta$ che non ha $1$ nella decomposizione.
7. La rappresentazione regolare di $G$ è la rappresentazione lineare associata all'azione di $G$ su $G$ per moltiplicazione a destra. Siccome il numero di punti fissi di ogni elemento non identico in questa rappresentazione è uguale a zero, il suo carattere è il seguente: $\chi (g)=0$ se $g\ne 1$, e $\chi (1)=|G|$. Siano ora ${\chi }_1,\dots ,{\chi }_s$ i caratteri irriducibili di $G$. Calcoliamo

   $B(\chi ,{\chi }_i)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\chi (g){\chi }_i(g^{-1})=\frac{1}{|G|}\cdot |G|\cdot {\chi }_i(1)={\chi }_i(1).$

   In altre parole ogni carattere irriducibile compare come componente irriducibile della rappresentazione regolare di $G$ con molteplicità uguale al suo grado. Detto $n_i$ il grado di ${\chi }_i$ per $i=1,\dots ,s$, si ha quindi $n_1^2+\dots +n_s^2=B(\chi ,\chi )=|G|$. Questa uguaglianza prende il nome di formula della somma dei quadrati o $n$-esimo teorema di Burnside.

Seconda relazione di ortogonalità

Sia $G$ un gruppo finito e siano ${\chi }_1,\dots ,{\chi }_s$ le sue rappresentazioni irriducibili sul campo $ℂ$ dei numeri complessi. Dati $h,g\in G$ si ha

$\sum _{i=1}^s{\chi }_i(h)\overline{{\chi }_i(g)}=|C_G(h)|$

se $h$ e $g$ sono coniugati in $G$, altrimenti

$\sum _{i=1}^s{\chi }_i(h)\overline{{\chi }_i(g)}=0.$