Classe di coniugio

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Definizione

Sia $G$ un gruppo. Due elementi $x$ e $x^{*}$ di $G$ sono detti coniugati se esiste un terzo elemento $g$ in $G$ tale che $gx{g}^{-1}=x^{*}$. Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di $G$ in insiemi disgiunti ognuno detto classe di equivalenza rispetto un elemento $x$ fissato:

$\mathrm{C}{\mathrm{o}}_{\mathrm{G}}(\cdot x)=Co(\cdot x)=G\circ x=\{x^{*}\in G|x^{*}=gx{g}^{-1},g\in G\}\subseteq G,$

$\mathrm{C}{\mathrm{o}}_{\mathrm{G}}(x\cdot )=Co(x\cdot )=x^{*}\circ G=\{x\in G|g^{-1}{x}^{*}g=x,g\in G\}\subseteq G,$

per azione sinistra o destra e in genere vengono dette orbite di $x$, e nel caso dell'azione di $G$ su $G$ viene detta classe di coniugio di $x$. Da notare che questi due tipi di classi coincidono e sono dei sottoinsiemi non dei sottogruppi di $G$. Se con $n_O=|X/G|$ indichiamo il numero di orbite o classi di coniugio distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:

$G_{\text{csr}}=\{x_1,x_2\dots ,x_{n_O}\}\subseteq X,$

dove per l'azione di coniugio si ha $X=G$ e csr le iniziali di complete system of rapresentatives. Il numero delle orbite o classi di coniugio si può ricavare con più metodi:

• la ricerca degli elementi $x$ fissati da $g$ (lemma di Burnside)
• la partizione di $n$ che corrisponde al numero di tipi di cicli del gruppo simmetrico $S_n$ (poiché c'è un isomorfismo tra $G$ e il gruppo simmetrico per il teorema di Cayley).

Descrizione tramite classi di equivalenza

Descriviamo ogni classe di coniugio come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza ${\sim }_{G\cdot }$ definita in $G$ ponendo per $a,b\in G$:

$a{\sim }_{G\cdot }b⟺ga{g}^{-1}=b⟺b\in \mathrm{Co}(a).$

La classe d'equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $Hg$: infatti $g=eg$, dove $e$ è l'elemento neutro di $G$, quindi $e\in H$ perché $H$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe coniugio sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

$a{\sim }_{\cdot G}b⟺g^{-1}bg=a⟺a\in \mathrm{Co}(b).$

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi coniugio distinte o disgiunte in cui è partizionato $G$ si definisce come:

$G/{\sim }_{\cdot G}=G/{\sim }_{G\cdot }:=\{\mathrm{Co}(x)|x\in G\},$

dove l'elemento $x$ è il rappresentante della classe di coniugio. Cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale.

Proprietà

• L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, cioè: $\mathrm{Co}(e)=\{e\}$. Infatti si ha:

$ge{g}^{-1}=g{g}^{-1}=e,\mathrm{\forall }g\in G.$

• Se $G$ è abeliano, $\mathrm{Co}(x)=\{x\}$ per ogni $x$ in $G$. In questo caso si ha che il centro $\mathrm{Z}(G)$ coincide con $G$.
• Se due elementi $x$ e $y$ appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine. In particolare per il gruppo simmetrico devono avere tutti la stessa struttura ciclica o il tipo, cioè:

$\mathrm{Co}(x)=\{x\in S_n:x=[{l_1}^{k_1}\dots {l_r}^{k_r}]\}.$

quindi un $\alpha \in \mathrm{Co}(x)$ ha $l_1,l_2,\dots ,l_r$ numeri interi che rappresentano le lunghezze dei cicli nella struttura ciclica di $\alpha$ (cioè 1-ciclo, 2-ciclo, ...), mentre $k_i$ indica il numero di cicli aventi stessa lunghezza $l_i$ con l'indice $i=1,2,\dots ,r$, e rappresentando un singolo ciclo con la notazione ${{\alpha }_{k_i}}^{l_i}=({a_1}^{k_i}{a_2}^{k_i}\dots {a_{l_i}}^{k_i})$ abbiamo:

$\alpha =\sum _{i=1}^r({{\alpha }_1}^{l_i}\cdots {{\alpha }_{k_i}}^{l_i})=\sum _{i=1}^r\left(\sum _{j=1}^{k_i}{\alpha }_j^{l_i}\right)$

essendo $\sum _{i=1}^r{k}_i{l}_i=n$. Allora il numero dei coniugati o dello stesso tipo di $\alpha$ è:

$|\mathrm{Co}(x)|=\frac{n!}{(k_1!l_1^{k_1})(k_2!l_2^{k_2})\cdots (k_r!l_r^{k_r})}=\frac{n!}{(l_1^{k_1}{l}_2^{k_2}\cdots l_r^{k_r})(k_1!k_2!\cdots k_r!)}=\frac{n!}{\prod _{i=1}^r{l}_i^{k_i}{k}_i!}.$

• Un elemento di $G$ appartiene al centro $\mathrm{Z}(G)$ di $G$ se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso. In simboli:

$x\in \mathrm{Z}(G)⟺\mathrm{Co}(x)=\{x\}.$

• Se due elementi $x$ e $y$ sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine $k$, cioè $x^k$ e $y^k$.

Coniugio come azione di gruppo

Si può definire l'azione di coniugio sinistra come l'azione di $G$ in sé stesso:

$g\cdot x=gx{g}^{-1}=y;$

oppure l'azione di coniugio destra

$y\cdot g=g^{-1}yg=x,$

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio. Le orbite dell'azione di coniugio vengono dette le classi di coniugio di $x,$ che denotiamo $\mathrm{Co}(x)$ già definita, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento in questo caso viene detto il suo centralizzatore (o centralizzante) che denotiamo ${\mathrm{C}}_G(x)$ e, per l'uso successivo, ne riportiamo la definizione:

${\mathrm{C}}_G(x)=\{g\in G|gx{g}^{-1}=x\}=\{g\in G|gx=xg\}\le G$

ed è un sottogruppo di $G,$ per cui ha senso considerare le classi laterali destre e sinistre, ed anche il numero di tali classi o l'indice $[G:{\mathrm{C}}_G(x)]$.

Allo stesso modo si può definire l'azione di coniugio sinistra di $G$ sulla famiglia $S$ dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di $G$ con $S=\{H:H<G,\{e\},G\}$ che comprende i sottogruppi propri e quelli banali o impropri cioè $\{e\}$ e $G$ stesso:

$g\cdot H=gH{g}^{-1}=K;$

oppure l'azione di coniugio destra

$K\cdot g=g^{-1}Kg=H,$

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio.

Sottogruppo coniugato

Possiamo definire il sottogruppo coniugato come:

$H^g=gH{g}^{-1}=\{gh{g}^{-1}:h\in H\}\le G$

che si dimostra essere ancora un sottogruppo di $G.$ L'insieme di tutti i coniugati di $H$ si denota:

$\mathrm{Co}(H)=G\circ H=\{gH{g}^{-1}:g\in G\}=\{H^g|g\in G\}$

e, mentre le classi di coniugio sono formate da elementi dello stesso ordine, qui le classi sono formate da sottogruppi con stesso indice $[G:H]=[G:H^g]$. Infine lo stabilizzatore di tale $H$ viene detto normalizzatore e, per completezza, ne riportiamo la definizione:

$N_G(H)=\{g\in G|gH{g}^{-1}=H\}.$

Equazione delle classi di coniugio

Se $G$ è un gruppo finito, allora per ogni elemento $x$ del gruppo, ha senso costruire due insiemi per l'azione di coniugio a sinistra:

$\mathrm{Co}(x)=\{gx{g}^{-1},g\in G\}\subseteq G,{\mathrm{C}}_G(x)=\{g\in G|gx{g}^{-1}=x\}=\{g\in G|gx=xg\}\le G$

e consideriamo le relative classi laterali sinistre:

$g{\mathrm{C}}_G(x)=\{gh,h\in {\mathrm{C}}_G(x)=H\}\subseteq G$

facciamo vedere come gli elementi nella classe di coniugazione di $x$ sono in corrispondenza biunivoca con le classi laterali del centralizzatore ${\mathrm{C}}_G(x).$ Infatti due elementi $g_1,g_2\in g{\mathrm{C}}_G(x)$ della stessa classe laterale danno origine allo stesso elemento coniugato $x$. In particolare con $g=x$ si ha:

$g_1=x{h}_1,g_2=x{h}_2⟹g_2{h_2}^{-1}=x⟹g_1=g_2{h_2}^{-1}{h}_1=g_2{h}^{\text{'}},h_1,h_2\in H.$

Essendo facile far vedere che $h^{\text{'}}\in {\mathrm{C}}_G(x)$ si ha:

$g_{1}x{g}_1^{-1}=g_2{h}^{\text{'}}x(g_2{h}^{\text{'}}{)}^{-1}=g_2{h}^{\text{'}}x{h^{\text{'}}}^{-1}{g}_2^{-1}=g_{2}x{h}^{\text{'}}{h^{\text{'}}}^{-1}{g}_2^{-1}=g_{2}x{g}_2^{-1},$

cioè due elementi della stessa classe laterale corrispondono allo stesso elemento coniugato. In altro modo due elementi coniugati della stessa classe $x,y\in \mathrm{Co}(x)$ hanno i rispettivi centralizzanti ${\mathrm{C}}_G(x),{\mathrm{C}}_G(y)$ che sono coniugati. Vale anche il viceversa: se consideriamo due elementi della stessa classe di coniugio $c_1,c_2\in C{o}_G(x),$ allora per le rispettive classi laterali sinistre rispetto al centralizzatore ${\mathrm{C}}_G(x)$ si ha $c_1{\mathrm{C}}_G(x)=c_2{\mathrm{C}}_G(x)$. Questo è un caso particolare del teorema orbita-stabilizzatore, quando si considera il gruppo come agente su se stesso attraverso l'azione per coniugio ($G$ è un $G$-insieme), dove le orbite sono le classi di coniugazione e i sottogruppi stabilizzatori sono i centralizzatori. In altri termini esiste una relazione che lega il centralizzante di un elemento con la classe di coniugio dello stesso:

$|G\circ x|=|Co(x)|=[G:{\mathrm{C}}_G(x)]=|G|/|{\mathrm{C}}_G(x)|,$

con $[G:{\mathrm{C}}_G(x)]$ l'indice in $G$ del centralizzante di $x$ tramite $G$. Ossia il numero di elementi nella classe di coniugio di $x$ è l'indice $[G:{\mathrm{C}}_G(x)]$ del centralizzatore ${\mathrm{C}}_G(x)$ in $G$; quindi la dimensione di ogni classe di coniugio divide l'ordine del gruppo ($|G|$).

Inoltre, nell'ipotesi di un centro banale, se scegliamo un singolo elemento rappresentativo $x_i$ da ogni classe di coniugio, essendo $G$ partizionato in $n_O$ classi disgiunte dalla relazione di coniugio, si ottiene

$G=\bigcup _{i=1}^{n_O}\mathrm{Co}(x_i),\mathrm{Co}(x_i)\cap \mathrm{Co}(x_j)=\varnothing ,i,j=1,\dots ,n_{O}i\ne j$

e quindi prendendo l'ordine del primo membro e del secondo, si ottiene l'equazione delle classi:

$|G|=\sum _{i=1}^{n_O}[G:{\mathrm{C}}_G(x_i)]=1+\sum _{i=2}^{n_O}\frac{|G|}{|{\mathrm{C}}_G(x_i)|},$

dove ${\mathrm{C}}_G(x_i)$ è il centralizzatore di $x_i.$ Nell'ipotesi di centro non banale, osserviamo che ogni elemento $y$ che sta al centro $\mathrm{Z}(G)⊴G$ (un sottogruppo normale) forma una classe di coniugio $\mathrm{Co}(y)=\{y\}$, che contiene il solo elemento $y,$ si ottiene la forma generale dell'equazione delle classi:

$|G|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|\mathrm{Co}(y_i)|+\sum _{j=1}^{n_O}[G:{\mathrm{C}}_G(x_j)]=|\mathrm{Z}(G)|+\sum _{j=1}^{n_O}\frac{|G|}{|{\mathrm{C}}_G(x_j)|}=n_{Oz}+\sum _{j=1}^{n_O}\frac{|G|}{|{\mathrm{C}}_G(x_j)|},$

dove la somma dell'indice $j$ è su un elemento rappresentativo di ciascuna classe di coniugio che non è il centro.

La conoscenza dei divisori dell'ordine di gruppo $|G|$ viene spesso utilizzata per ottenere informazioni sull'ordine del centro ($|\mathrm{Z}(G)|$) o delle classi di coniugio ($|O(x)|$).

Esempi

Gruppo simmetrico S_n

Consideriamo il gruppo simmetrico $S_3$ non abeliano. In notazione ciclica il gruppo ha i seguenti elementi:

$S_3=\{(1)(2)(3),(123),(132),(12)(3),(13)(2),(23)(1)\}$

che sappiamo avere centro banale $\mathrm{Z}(S_3)=\{(1)(2)(3))\}=\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}$ e quindi il centro $\mathrm{Z}(G)$ forma una sola classe di coniugio $\mathrm{Co}(\mathrm{i}\mathrm{d})=\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}$ e il corrispondente centralizzante ${\mathrm{C}}_G(\mathrm{i}\mathrm{d})=S_3⊴S_3$ per cui

$|\mathrm{Z}(S_3)|=\frac{|S_3|}{|{\mathrm{C}}_{S_3}(\mathrm{i}\mathrm{d})|}=\frac{6}{6}=1.$

Fatta questa premessa determiniamo il numero delle classi di coniugio $\mathrm{Co}(x_i)$ e i centralizzatori ${\mathrm{C}}_{S_3}(x_i)$, dove $x_i(i=1,\dots n_O)$ è il rappresentante della $i$-esima classe di coniugio. Innanzitutto osserviamo che $n_O$ è uguale al numero di partizioni di $n=3,$ ossia alla decomposizione di $n$ nella somma d'interi positivi. Essendo $1\le 2\le 3=n$, occorre trovare gli $i_j:\sum _{j=1}^r{i}_j=3,i\in \{1,2,3\}$ e cioè i seguenti casi:

$1+1+1=3;$

$1+2=3;$

$3=3.$

Quindi le classi sono 3, cioè $n_O=3$ ed equivale ai 3 tipi di cicli possibili che si hanno in $S_3$: $[1^3],[1^1{2}^1],[3^1]$. L'insieme degli elementi rappresentativi sia $\{x_1,x_2,x_3\}=\{C_3,{\sigma }^{\text{'}},{C_3}^3\}$.

Calcolo dei centralizzanti

Consideriamo i 2-cicli e vogliamo trovare quanti elementi commutano con esso. Essendo $x\cdot e=e\cdot x$, allora l'elemento con tutti i punti fissi (l'identità o neutro) commuta, inoltre $x\cdot x=e$ cioè lo stesso $x$ commuta. Non commuta con un 3-ciclo in quanto $S_3$ non è abeliano. Quindi il tipo $[1^1{2}^1]$ ha come generico sottogruppo centralizzante:

${\mathrm{C}}_{S_3}(x)=\{(1)(2)(3),x\},x=(12),(23),(13),$ cioè $|{\mathrm{C}}_{S_3}(x)|=2$

e sono i tre sottogruppi delle riflessioni di ordine 2: $T_2^{\text{'}},T_2^{{\text{'}}^{\prime }},T_2^{{\text{'}}^{″}}.$

Consideriamo i 3-cicli e notiamo che essi formano il sottogruppo abeliano normale $A_3$, cioè quello alterno per cui per il tipo $[3^1]$ si ottiene

${\mathrm{C}}_{S_3}(x)=A_3=\{(1)(2)(3),(123),(132)\}$ cioè $|{\mathrm{C}}_{S_3}(x)|=3$

e quindi sono due sottogruppi, uno per ogni 3-ciclo, coincidenti con $A_3.$

Infine per l'elemento neutro si ha

${\mathrm{C}}_{S_3}(\mathrm{i}\mathrm{d})=S_3,$ cioè $|{\mathrm{C}}_{S_3}(\mathrm{i}\mathrm{d})|=6,$

cioè coincide con il sottogruppo banale. Da notare che l'altro sottogruppo banale con solo l'unità non è centralizzante.

Calcolo delle classi di coniugio

Si può procedere utilizzando la tabella di Cayley di $S_3$ oppure col seguente metodo più semplice. Per i 2-cicli osserviamo che fissato, ad esempio, $x=(12)(3)$ come rappresentante della classe si ha:

$(13)=(23)(12){(23)}^{-1},(23)=(13)(12){(13)}^{-1},$ dove sono stati omessi i punti fissi dei cicli per semplicità.

che ci permette di ottenere le tre classi di coniugio coincidenti:

$\mathrm{Co}(12)=\mathrm{Co}(13)=\mathrm{Co}(23)=\{(12),(13),(23)\},$ cioè $|\mathrm{Co}(x)|=3.$

Per i 3-cicli allora, necessariamente, perché le classi di coniugio formano una partizione (con $x=(123)$ come rappresentante della classe)

$\mathrm{Co}((123))=\mathrm{Co}((132))=\{(123),(132)\},$ cioè $|\mathrm{Co}((123))|=2.$

Da quanto visto è facile verificare l'equazione delle classi di coniugio

$|S_3|=6=|\mathrm{Z}(S_3)|+Co((12)(3))+|\mathrm{Co}((123))|=|\mathrm{Z}(S_3)|+\frac{|S_3|}{|{\mathrm{C}}_{S_3}((3)(12))|}+\frac{|S_3|}{|{\mathrm{C}}_{S_3}((123))|}=1+3+2.$

Riassumendo e tenendo conto dell'esempio sulle classi laterali di $S_3$:

Classi di coniugio e centralizzanti di $G=S_3$

$x$	${Co}_G(x)\subseteq G$	$H\le G$	$G/{\sim }_{\cdot H}$	$Co(H)$	$|{Co}_G(x)|=[G:H]$
${\sigma }^{\text{'}}$	$Co({\sigma }^{\text{'}})=\{{\sigma }^{\text{'}},{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }},{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$	$T_2^{\text{'}}$	$T_2^{\text{'}},\{C_3,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\},\{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$	$\{T_2^{\text{'}},T_2^{{\text{'}}^{\prime }},T_2^{{\text{'}}^{″}}\}$	3
	$Co({\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }})=\{{\sigma }^{\text{'}},{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }},{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$	$T_2^{{\text{'}}^{\prime }}$	$T_2^{{\text{'}}^{\prime }},\{C_3^2,{\sigma }^{\text{'}}\},\{C_3,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$
	$Co({\sigma }^{{\text{'}}^{″}})=\{{\sigma }^{\text{'}},{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }},{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$	$T_2^{{\text{'}}^{″}}$	$T_2^{{\text{'}}^{″}},\{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\},\{C_3,{\sigma }^{\text{'}}\}$
$C_3$	$Co(C_3)=Co(C_3^2)=\{C_3,C_3^2\}$	$A_3⊲S_3$	$A_3,\{{\sigma }^{\text{'}},{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }},{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$	$\{A_3\}$	2
$\mathrm{i}\mathrm{d}=C_3^3$	$\mathrm{Z}(S_3)=\{C_3^3\}$	$S_3⊴S_3$	$S_3$	$\{S_3\}$	1

dove $x$ è il rappresentante della classe di coniugio, $H$ è il sottogruppo $C_G(x)\le G$ e $\mathrm{Co}(H)$ l'insieme dei sottogruppi coniugati di $H.$ L'ultima colonna evidenzia il teorema orbita-stabilizzatore.

p-gruppi

Questo esempio fa uso dell'equazione delle classi di coniugio per dimostrare una proprietà dei $p$-gruppi.

Consideriamo un $p$-gruppo finito $G$ cioè:

$|G|=p^n,p\in 𝐏,n\in \mathbb{N},$

dove $𝐏$ è l'insieme dei numeri primi e $\mathbb{N}$ quello dei numeri naturali. Vogliamo dimostrare che "ogni $p$-gruppo finito ha un centro $\mathrm{Z}(G)$ non banale", cioè che non sia formato dal solo elemento neutro del gruppo ($|\mathrm{Z}(G)|\ne 1$).

Poiché l'ordine di qualsiasi classe di coniugio di $G$ deve dividere l'ordine di $G,$ ne segue che qualsiasi classe di coniugio $\mathrm{Co}(x_j)⊈\mathrm{Z}(G)$ ha ordine $|\mathrm{Co}(x_j)|=p^{k_j},0<k_j<n.$ Mentre si ha pure $\mathrm{Co}(y_i)=\{y_i\},|\mathrm{Co}(y_i)|=1.$ Nell'equazione delle classi:

$|G|=\sum _i|\mathrm{Co}(y_i)|+\sum _j|\mathrm{Co}(x_j)|=|\mathrm{Z}(G)|+\sum _j|\mathrm{Co}(x_j)|$

$p$ divide $|\mathrm{Co}(x_j)|$ e quindi divide anche $|\mathrm{Z}(G)|$ che dimostra un centro non banale.

Si può studiare l'equazione delle classi di coniugio applicando la serie geometrica in un caso limite:

$|G|=p^n=|\mathrm{Z}(G)|+\sum _j|\mathrm{Co}(x_j)|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|\mathrm{Co}(y_i)|+\sum _{j=1}^{n_O}{p}^{k_j}=n_{Oz}+p+p^2+\dots +p^{(n-1)}=\frac{p}{p-1}(p^n-2p^{(n-1)}+1)+\sum _{j=1}^{n-1}{p}^j.$

Si deduce che $\text{mcm}(|\mathrm{Z}(G)|,p)=(\frac{p}{p-1}(p^n-2p^{(n-1)}+1),p)=p\ne 1⟹|\mathrm{Z}(G)|>1$, cioè il centro non è banale. Da notare che in qualsiasi altro caso l'ordine del centro contiene sempre il fattore $p.$

Casi particolari

• per $n=1$, $G$ è un gruppo abeliano e si ha $\mathrm{Z}(G)=G\cong C_p$, cioè isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $p.$
• per $n=2$, $G$ è un gruppo abeliano e si ha $\mathrm{Z}(G)=G\cong C_p\times C_p$, cioè isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine $p.$ Infatti qualsiasi elemento $g\in G:g\notin \mathrm{Z}(G)$ ammette i seguenti due casi:
  1. $g\in G:|<g>|=p^2,$ allora $G$ è isomorfo al gruppo ciclico di ordine $p^2,$ quindi abeliano con $\mathrm{Z}(G)=G$.
  2. $g\in G:|<g>|=p,$ ed essendo $G$ un $p$-gruppo per quanto dimostrato sopra $|\mathrm{Z}(G)|>1$ che implica due casi $|\mathrm{Z}(G)|=p$ e $|\mathrm{Z}(G)|=p^2.$

     • $|\mathrm{Z}(G)|=p,$ allora esiste un elemento $b$ di $G$ che non appartiene al centro di $G.$

     Da notare che ${\mathrm{C}}_G(b)$ include $b$ e il centro che non contiene $b$ ma almeno $p$ elementi. Quindi l'ordine di ${\mathrm{C}}_G(b)$ è strettamente maggiore di $p,$ e si ha:

     $|{\mathrm{C}}_G(b)|=p^2⟹b\in \mathrm{Z}(g)$ quindi un assurdo. Ne concludiamo che $G$ è abeliano e isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici ciascuno di ordine $p$, come nel caso 1.

     • $|\mathrm{Z}(G)|=p^2=|G|$ cioè coincide con l'intero gruppo e le classi di coniugazione sono formate da un solo elemento, come nel caso 1.

Note

Postille

Bibliografia

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Voci correlate

• Classe laterale
• Gruppo (matematica)
• Teoria dei gruppi

Collegamenti esterni

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