Teorema di sviluppabilità in serie bilatera

Template:U Il teorema di sviluppabilità in serie bilatera, anche conosciuto come teorema di Laurent, permette di esplicitare qualsiasi funzione complessa come una serie bilatera.

Teorema

Ip: Data una funzione $f:A\to B$ olomorfa in $A=\{z\in ℂ:R_1<|z-z_0|<R_2\}$, dove $z_0$ è una singolarità isolata.

Th: Allora $\mathrm{\forall }z\in A,f(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{c_{-n}}{(z-z_0{)}^n}$

Dimostrazione

Avendo a disposizione una corona circolare, ne costruisco un'altra all'interno, scegliendo un qualsiasi $z$ all'interno di essa. Quindi la nuova corona circolare sarà $R_1<r_1<|z-z_0|<r_2<R_2$. Prendo i bordi corona circolare e li chiamo ${\gamma }_1=\partial B_{r_1}$ e ${\gamma }_2=\partial B_{r_2}$, dove la $B$ è intesa come la corona circolare di raggio $r_1,r_2$. Dal Teorema integrale di Cauchy, so che: $f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(s)}{s-z}ds$ con $z$ la singolarità isolata.

$\mathrm{\Gamma }$ è la curva composta da 4 pezzi: i due bordi della corona circolare più due trattini per chiudere la curva. Percorrendo i due trattini prima in un verso e poi nell'altro, si annullano a vicenda. Quindi il mio integrale diventa:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}[\stackrel{I}{\overbrace{\underset{{\gamma }_2}{\int }\frac{f(s)}{s-z}ds}}-\stackrel{II}{\overbrace{\underset{{\gamma }_1}{\int }\frac{f(s)}{s-z}ds}}]$

Il secondo integrale è negativo, poiché si percorre la curva in senso orario.

Al primo integrale applichiamo il seguente artifizio a $s-z$

$s-z=s-z_0+z_0-z=(s-z_0)[1-\frac{z-z_0}{s-z_0}]$ Quindi:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{{\gamma }_2}{\int }\frac{f(s)}{(s-z_0)[1-\frac{z-z_0}{s-z_0}]}ds$.

Racchiusa nella parentesi quadra è presente la serie geometrica con condizione $|z-z_0|<|s-z_0|$.

$\frac{1}{2\pi i}\underset{{\gamma }_2}{\int }\frac{f(s)}{s-z_0}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(z-z_0{)}^n}{(s-z_0{)}^n}ds$

Porto fuori il segno di sommatoria essendo essa convergente per costruzione; quindi

$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\underset{c_n}{\underbrace{\left[\frac{1}{2\pi i}\underset{{\gamma }_2}{\int }\frac{f(s)}{(s-z_0{)}^{n+1}}ds\right]}}(z-z_0{)}^n$

Al secondo integrale applichiamo un artifizio simile, sfruttando il meno davanti all'integrale.

$z-s=z-z_0+z_0-s=(z-z_0)[1-\frac{s-z_0}{z-z_0}]$ Quindi:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{{\gamma }_1}{\int }\frac{f(s)}{(z-z_0)[1-\frac{s-z_0}{z-z_0}]}ds$.

Racchiusa nella parentisi quadra è presente la serie geometrica con condizione $|s-z_0|<|z-z_0|$.

$\frac{1}{2\pi i}\underset{{\gamma }_1}{\int }\frac{f(s)}{z-z_0}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(s-z_0{)}^n}{(z-z_0{)}^n}ds$

Porto fuori il segno di sommatoria essendo essa convergente per costruzione; quindi

$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\left[\frac{1}{2\pi i}\underset{{\gamma }_1}{\int }f(s)(s-z_0{)}^{n}ds\right]\frac{1}{(z-z_0{)}^{n+1}}$

Shiftando i parametri ottengo

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\underset{c_{-n}}{\underbrace{\left[\frac{1}{2\pi i}\underset{{\gamma }_1}{\int }f(s)(s-z_0{)}^{n-1}ds\right]}}\frac{1}{(z-z_0{)}^n}$

Conclusioni

I valori di $c_n$ e $c_{-n}$ sono numeri, poiché sono le soluzioni degli integrali. Da notare come $c_{-1}$ è il valore del residuo di $f$ in $z_0$, cioè $\mathrm{Res}(f,z_0)$.

Voci correlate

• Serie di Laurent
• Polo (analisi complessa)
• Analisi complessa
• Lemma del cerchio grande
• Lemma del cerchio piccolo