Lemma del cerchio grande

Template:F Template:C In analisi complessa, il lemma del cerchio grande (o lemma del grande arco di cerchio) permette di risolvere integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale.

Enunciato

Sia $\mathrm{\Omega }$ un insieme aperto illimitato del piano complesso $ℂ$. Sia $f(z)$ olomorfa in $\mathrm{\Omega }$ e tale che:

$\underset{z\in \mathrm{\Omega };|z|\to +\mathrm{\infty }}{\lim }zf(z)=0,$

allora

$\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{\gamma }_R\cap \mathrm{\Omega }}{\int }f(z)dz=0,$

dove $R$ rappresenta il raggio della semicirconferenza utilizzata per creare una curva chiusa attorno a un polo.

Dimostrazione

Costruzione di una curva regolare a tratti per calcolare l'integrale

Si ha che:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }M>0:\mathrm{\forall }R>M\Rightarrow |\underset{{\gamma }_R\cap \mathrm{\Omega }}{\int }f(z)dz|<\epsilon$

Inoltre vale che:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\frac{\epsilon }{{\varphi }_2-{\varphi }_1}:\mathrm{\forall }z,\left|z\right|>M\Rightarrow |z\cdot f(z)|<\frac{\epsilon }{{\varphi }_2-{\varphi }_1}$

Si calcola di seguito il modulo dell'integrale:

$|\underset{{\gamma }_R\cap \mathrm{\Omega }}{\int }f(z)dz|\le \underset{{\gamma }_R\cap \mathrm{\Omega }}{\int }|f(z)dz|\le \underset{{\gamma }_R\cap \mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\epsilon }{({\varphi }_2-{\varphi }_1)\left|z\right|}dz=$

Poiché si è supposto $R>M$, con $R=\left|z\right|$, ed essendo $\left|z\right|$ il raggio della circonferenza, si può portare fuori dal segno di integrale tutta la frazione. Quindi:

$=\frac{\epsilon }{({\varphi }_2-{\varphi }_1)\left|z\right|}\underset{{\gamma }_R\cap \mathrm{\Omega }}{\int }dz=\frac{\epsilon }{({\varphi }_2-{\varphi }_1)\left|z\right|}\cdot ({\varphi }_2-{\varphi }_1)\left|z\right|=\epsilon$

L'integrale rimasto non è altro che la lunghezza dell'arco di circonferenza compresa tra i due angoli ${\varphi }_1,{\varphi }_2$.

Voci correlate

• Lemma del cerchio piccolo
• Analisi complessa
• Polo (analisi complessa)