Teorema di convergenza di Vitali

In analisi funzionale e teoria della misura, il teorema di convergenza di Vitali, il cui nome si deve a Giuseppe Vitali, è una generalizzazione del più noto teorema della convergenza dominata di Henri Lebesgue. Risulta utile quando non è possibile trovare la funzione "dominante" per la successione di funzioni considerata (se invece è possibile, il teorema della convergenza dominata segue come caso particolare).

Il teorema

Sia $(X,ℱ,\mu )$ uno spazio di misura con misura positiva. Se:

• $\mu (X)<\mathrm{\infty }$
• $\{f_n\}$ è uniformemente integrabile
• $f_n(x)\to f(x)$ quasi ovunque per $n\to \mathrm{\infty }$
• $|f(x)|<\mathrm{\infty }$ quasi ovunque

allora si verifica:

• $f\in L^1(\mu )$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_n-f|d\mu =0$

Viceversa, sia $(X,ℱ,\mu )$ uno spazio di misura con misura positiva. Se:

• $\mu (X)<\mathrm{\infty }$
• $f_n\in L^1(\mu )$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }{f}_{n}d\mu$ esiste per ogni $E\in ℱ$

allora $\{f_n\}$ è uniformemente integrabile.

Dimostrazione

Per mostrare che $f\in L^1(\mu )$ si usa il lemma di Fatou:

$\underset{X}{\int }|f|d\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{X}{\int }|f_n|d\mu$

Utilizzando l'integrabilità uniforme si ha che:

$\underset{E}{\int }|f_n|d\mu <1$

dove $E$ è un insieme tale che $\mu (E)<\delta$. Per il teorema di Egorov, inoltre, $f_n$ converge uniformemente sull'insieme $E^C$. Si ha:

$\underset{E^C}{\int }|f_n-f_p|d\mu <1$

per un $p$ abbastanza grande e per ogni $n>p$. Grazie alla disuguaglianza triangolare:

$\underset{E^C}{\int }|f_n|d\mu \le \underset{E^C}{\int }|f_p|d\mu +1=M$

Applicando tale limite sul membro di destra del lemma di Fatou si ottiene quindi che $f\in L^1(\mu )$.

Per mostrare che $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }|f_n-f|d\mu =0$ si utilizza il fatto che:

$\underset{X}{\int }|f-f_n|d\mu \le \underset{E}{\int }|f|d\mu +\underset{E}{\int }|f_n|d\mu +\underset{E^C}{\int }|f-f_n|d\mu$

dove $E\in X$ e $\mu (E)<\delta$. I termini al membro di destra sono limitati rispettivamente per quanto detto sopra, per l'integrabilità uniforme di $f_n$, e per il teorema di Egorov (per tutti gli $n>N$).

Bibliografia

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Voci correlate

• Integrabilità uniforme
• Teorema della convergenza dominata

Collegamenti esterni

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