Lemma di Fatou

In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).

Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Enunciato del lemma di Fatou

Se $f_1,f_2,\dots$ è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$, allora:

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_{n}d\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu$

Dimostrazione

Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.

Sia $f$ il limite inferiore della successione $f_n$. Per ogni intero $k$ si definisca la funzione:

$g_k=\underset{n\ge k}{\inf }{f}_n$

cioè:

$g_1=\inf \{f_1,f_2,f_3,\dots \}$

$g_2=\inf \{f_2,f_3,f_4,\dots \}$

$\dots$

$g_n=\inf \{f_n,f_{n+1},f_{n+2},\dots \}$

$\dots$

Allora la successione $g_k$ è tale che:

$0\le g_1\le g_2\dots \le g_n\dots g_k\uparrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n{g}_k\le f_k\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$

Se $k\le n$, allora $g_k\le f_n$, dunque:

$\underset{S}{\int }{g}_{k}d\mu \le \underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu$

quindi:

$\underset{S}{\int }{g}_{k}d\mu \le \underset{n\ge k}{\inf }\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu$

Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_{n}d\mu =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{g}_{k}d\mu \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\ge k}{\inf }\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu$

Esempi nel caso di disuguaglianza stretta

Si definisca sullo spazio $S$ una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.

• Si consideri l'intervallo unitario $S:=[0,1]$, e per ogni intero positivo $n$ si definisca:

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}n& \text{per }x\in (0,1/n)\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

• Sia $S:=ℝ$ l'insieme dei numeri reali e si definisca:

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n}& \text{per }x\in [0,n]\\ \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

Queste successioni $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ convergono su $S$ puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni $f_n$ ha integrale uguale a $1$.

Inverso del lemma di Fatou

Sia $f_1,f_2,\dots$ una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a $ℝ$ esteso definita su uno spazio di misura $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$. Se esiste una funzione non negativa $g$, misurabile e con $\underset{S}{\int }gd\mu <\mathrm{\infty }$ su $S$, tale che $f_n\le g$ per ogni n, allora:

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_{n}d\mu \ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu$

Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da $g-f_n$.

Estensioni e varianti del Lemma di Fatou

Estremo inferiore integrabile

Sia $f_1,f_2,\dots$ una successione di funzioni misurabili a valori in $ℝ$ esteso definita su uno spazio di misura $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$. Se esiste una funzione non negativa e integrabile $g$ su $S$ tale che $f_n\ge -g$ per ogni n, allora:

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_{n}d\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu$

Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da $g+f_n$.

Convergenza puntuale

Se la successione $f_1,f_2,\dots$ appena presentata converge puntualmente ad una funzione $f$ quasi ovunque su $S$, allora:

$\underset{S}{\int }fd\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu$

Infatti, si osservi che $f$ ha lo stesso limite inferiore delle $f_n$ quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.

Convergenza in misura

L'ultima affermazione vale anche se la successione $f_1,f_2,\dots$ converge in misura ad una funzione $f$. Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{f}_{n_k}d\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu$

Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a $f$, esiste una nuova successione, che converge puntualmente a $f$ quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.

Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato

Template:Vedi anche Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali $X_1,X_2,\dots$ definite su uno spazio di probabilità $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.

Sia $X_1,X_2,\dots$ una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ e sia $𝒢\subset ℱ$ una sotto-σ-algebra. Allora:

$𝔼\left[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{X}_n\right|𝒢]\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}𝔼[X_n|𝒢]$

quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.

Dimostrazione

Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.

Sia $X$ il limite inferiore di $X_n$. Per ogni intero $k$ si definisca la variabile:

$Y_k=\underset{n\ge k}{\inf }{X}_n$

Allora la successione $Y_1,Y_2,\dots$ è crescente e converge puntualmente a $X$. Per $k\le n$, si ha $Y_k\le Y_n$, e quindi:

$𝔼[Y_k|𝒢]\le 𝔼[X_n|𝒢]$

quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:

$𝔼[Y_k|𝒢]\le \underset{n\ge k}{\inf }𝔼[X_n|𝒢]$

quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.

Usando la definizione di $X$, la sua rappresentazione come limite puntuale di $Y_k$, il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:

$\begin{array}{cc}𝔼\left[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{X}_n\right|𝒢]& =𝔼[X|𝒢]=𝔼[\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{Y}_k\left|𝒢\right]=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝔼[Y_k|𝒢]\\ & \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\ge k}{\inf }𝔼[X_n|𝒢]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}𝔼[X_n|𝒢]\end{array}$

quasi certamente.

Estensione a parti negative uniformemente integrabili

Sia $X_1,X_2,\dots$ una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ e sia $𝒢\subset ℱ$ una sotto σ-algebra. Se le parti negative:

$X_n^{-}:=\max \{-X_n,0\}n\in \mathbb{N}$

sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per $\epsilon >0$ esiste $c>0$ tale che:

$𝔼[X_n^{-}{1}_{\{X_n^{-}>c\}}|𝒢]<\epsilon \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

quasi certamente, allora:

$𝔼\left[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{X}_n\right|𝒢]\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}𝔼[X_n|𝒢]$

quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:

$X:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{X}_n$

soddisfa:

$𝔼[\max \{X,0\}|𝒢]=\mathrm{\infty }$

il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.

Dimostrazione

Sia $\epsilon >0$. A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste $c>0$ tale che:

$𝔼[X_n^{-}{1}_{\{X_n^{-}>c\}}|𝒢]<\epsilon \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

quasi certamente. Dato che:

$X+c\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(X_n+c{)}^{+}$

dove $x^{+}:=\max \{x,0\}$ denota la parte positiva di $x\in ℝ$, la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:

$𝔼[X|𝒢]+c\le 𝔼[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(X_n+c{)}^{+}|𝒢]\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}𝔼[(X_n+c{)}^{+}|𝒢]$

quasi certamente. Dal momento che:

$(X_n+c{)}^{+}=(X_n+c)+(X_n+c{)}^{-}\le X_n+c+X_n^{-}{1}_{\{X_n^{-}>c\}}$

si ha:

$𝔼[(X_n+c{)}^{+}|𝒢]\le 𝔼[X_n|𝒢]+c+\epsilon$

quasi certamente, e quindi:

$𝔼[X|𝒢]\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}𝔼[X_n|𝒢]+\epsilon$

quasi certamente. Questo prova l'asserto.

Bibliografia

• H.L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988.
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Voci correlate

• Funzione misurabile
• Integrale di Lebesgue
• Limite superiore e limite inferiore
• Passaggio al limite sotto segno di integrale
• Successione di funzioni
• Teorema della convergenza monotona

Collegamenti esterni

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