Integrabilità uniforme

In analisi funzionale e teoria della misura, una famiglia di funzioni $\{f_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}\subseteq L^1(\mu )$ è uniformemente integrabile se per ogni $ϵ>0$ esiste un ${\delta }_{ϵ}=\delta >0$ tale che per ogni $\alpha \in A$ si verifica:

$\underset{E}{\int }|f_{\alpha }|d\mu \le ϵ\text{se }\mu (E)\le \delta$

cioè:

$\underset{\mu (E)\to 0}{\lim }\underset{\alpha \in A}{\sup }\underset{E}{\int }|f_{\alpha }|d\mu =0$

Tale concetto è utilizzato dal teorema di convergenza di Vitali per caratterizzare la convergenza di funzioni in $L^1$.

Definizione

Si dimostra che la seguente definizione è equivalente a quella data nell'introduzione. Una classe di $𝒞$ di variabili casuali è detta uniformemente integrabile se dato $ϵ>0$ esiste $K\in [0,\mathrm{\infty })$ tale che il valore atteso:

$\mathrm{E}(|X|I_{|X|\ge K})\le ϵ\mathrm{\forall }X\in 𝒞$

dove $I_{|X|\ge K}$ è la funzione indicatrice:

$I_{|X|\ge K}=\{\begin{array}{c}1|X|\ge K\\ 0|X|<K\end{array}$

In modo equivalente, una classe $𝒞$ è uniformemente integrabile se:

• Esiste un $K$ finito tale che per ogni $X$ in $𝒞$ si ha $\mathrm{E}(|X|)⩽K$.
• Per ogni $ϵ>0$ esiste $\delta >0$ tale che, per ogni insieme misurabile $A$ che soddisfa $\mathrm{P}(A)⩽\delta$ e per ogni $X$ in $𝒞$, si ha $\mathrm{E}(|X|:A)⩽ϵ$.

Teoremi

Un risultato che si deve a Nelson Dunford e Billy James Pettis (teorema di Dunford-Pettis) stabilisce che una classe di variabili casuali $X_n\subset L^1(\mu )$ è uniformemente integrabile se e solo se è relativamente compatta rispetto alla topologia debole $\sigma (L^1,L^{\mathrm{\infty }})$.

Il teorema di de la Vallée-Poussin, che prende il nome da Charles Jean de la Vallée-Poussin, afferma che la famiglia $\{X_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}\subset L^1(\mu )$ è uniformemente integrabile se e soltanto se esiste una funzione convessa non-negativa e crescente $G(t)$ tale che:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{G(t)}{t}=\mathrm{\infty }\underset{\alpha }{\sup }\mathrm{E}(G(|X_{\alpha }|))<\mathrm{\infty }$

Bibliografia

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• Template:EnJ. Diestel and J. Uhl (1977). Vector measures, Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1

Voci correlate

• Integrale
• Successione di funzioni
• Teorema di convergenza di Vitali

Collegamenti esterni

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