Teorema di Sylvester

In algebra lineare il teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura mentre nel caso complesso è il rango.

Il teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo $K$ dei numeri reali o complessi, sul quale è definito un prodotto scalare $\varphi$, ovvero una forma bilineare simmetrica.

Due prodotti scalari $\varphi$ e $\psi$ sono detti isometrici (o congruenti) se sono collegati da una isometria, ovvero se esiste un automorfismo $T:V\to V$, cioè una trasformazione lineare biunivoca, tale che:

$\varphi (𝐯,𝐰)=\psi (T(𝐯),T(𝐰))\mathrm{\forall }𝐯,𝐰\in V$

Due vettori $𝐯$ e $𝐰$ di $V$ sono ortogonali per $\varphi$ se $\varphi (𝐯,𝐰)=0$, e il radicale di $\varphi$ è il sottospazio vettoriale dato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore. Il rango di $\varphi$ è n meno la dimensione del radicale, mentre un vettore $𝐯$ è isotropo se $\varphi (𝐯,𝐯)=0$.

Una base ortogonale di $V$ rispetto a $\varphi$ è una base di vettori ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$ che sono a due a due ortogonali. Si consideri $K=ℝ$ e si definisca la segnatura della base come la terna $(i_{+},i_{-},i_0)$ di interi, dove:

• $i_{+}$ è il numero di vettori ${𝐯}_i$ della base per cui $\varphi ({𝐯}_i,{𝐯}_i)>0$.
• $i_{-}$ è il numero di vettori ${𝐯}_i$ della base per cui $\varphi ({𝐯}_i,{𝐯}_i)<0$.
• $i_0$ è il numero di vettori ${𝐯}_i$ della base per cui $\varphi ({𝐯}_i,{𝐯}_i)=0$.

Una tale definizione non avrebbe senso per $K=ℂ$, perché $ℂ$ non ha un ordinamento naturale.

Enunciato

Esistono due versioni del teorema di Sylvester: una per il campo reale, e una per quello complesso.

Il teorema di Sylvester reale afferma che se $\varphi$ è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale $V$ di dimensione n, allora:

• Esiste una base ortogonale di $V$ per $\varphi$.
• Due basi ortogonali per $V$ hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da $\varphi$.
• Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono congruenti.

La segnatura è quindi un invariante completo per l'isometria (congruenza): due spazi vettoriali reali con prodotto scalare sono isometrici (congruenti) se e solo se hanno la stessa segnatura.

La versione complessa afferma che se $\varphi$ è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione n, allora:

• Esiste una base ortogonale di $V$ per $\varphi$.
• Due basi ortogonali per $V$ contengono lo stesso numero di vettori isotropi, pari alla dimensione del radicale, che dipende quindi solo da $\varphi$.
• Due prodotti scalari con lo stesso rango sono congruenti.

Nel caso complesso il rango è pertanto un invariante completo per l'isometria (congruenza).

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Algoritmo di Lagrange
• Base ortonormale
• Isometria
• Prodotto scalare
• Segnatura (algebra lineare)

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:EnSylvester's law Template:Webarchive on PlanetMath.