Algoritmo di Lagrange

Template:F In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'algoritmo di Lagrange è un algoritmo utile a trovare una base ortogonale in uno spazio vettoriale di dimensione finita munito di un prodotto scalare. Si tratta di una variante del processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt utilizzata nel caso in cui il prodotto scalare non sia definito positivo.

L'algoritmo

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$ di caratteristica diversa da 2, con forma bilineare simmetrica $\varphi$. L'algoritmo costruisce una base ortogonale a partire da una base $v_1,\dots ,v_n$ data. Si tratta di applicare iterativamente per $i=1,\dots ,n$ le mosse seguenti:

• Se $v_i$ non è isotropo, allora $\varphi (v_i,v_i)\ne 0$ e si definisce

$v{\text{'}}_i=v_i-\sum _{j>i}\frac{\varphi (v_i,v_j)}{\varphi (v_j,v_j)}{v}_j$

Il risultato è un vettore $v{\text{'}}_i$ che continua a formare una base con i vettori restanti, ma ortogonale a tutti i vettori successivi: infatti $\varphi ({v_i}^{\prime },v_j)=0$ per ogni $j>i$. Quindi si sostituisce $v_i$ con ${v_i}^{\prime }$.

• Se $v_i$ è un vettore isotropo, viene scambiato con un elemento non isotropo $v_j$ con $j>i$. Nel caso in cui tutti tali vettori siano isotropi, si cerca un vettore non isotropo tra i $v_j+v_k$ con $j,k\ge i$. Se anche tutti questi sono isotropi, allora la base è già ortogonale e l'algoritmo si interrompe.

Voci correlate

• Criterio di Jacobi
• Problemi sui reticoli
• Segnatura (algebra lineare)
• Teorema di Sylvester

Collegamenti esterni

• Template:Cita web