Teorema di Rellich-Kondrakov

In matematica, il teorema di Rellich-Kondrachov è un risultato relativo all'immersione compatta in spazi di Sobolev. Il nome del teorema è dovuto a Franz Rellich e Vladimir Iosifovich Kondrashov: Rellich mostrò il teorema in spazi $L^2$, mentre Kondrashov fornì il caso di $L^p$.

Enunciato

Sia $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ un dominio lipschitziano aperto e limitato, e sia $p\in ℝ$. Sia

$p^{*}:=\frac{np}{n-p},$

allora

• se $1\le p<n$, lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(\mathrm{\Omega },ℝ)$ è immerso con continuità nello spazio L^p $L^{p^{*}}(\mathrm{\Omega },ℝ)$, ed è immerso con compattezza nello spazio $L^q(\mathrm{\Omega },ℝ)$, per ogni $1\le q<p^{*}$: $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\hookrightarrow L^{p^{*}}(\mathrm{\Omega })W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\subset \subset L^q(\mathrm{\Omega })1\le q<p^{*};$
• se p=n, lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(\mathrm{\Omega },ℝ)$ è immerso con compattezza nello spazio $L^q(\mathrm{\Omega },ℝ)$, per ogni $1\le q<\mathrm{\infty }$: $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\subset \subset L^q(\mathrm{\Omega })1\le q<\mathrm{\infty };$
• se p>n, lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(\mathrm{\Omega },ℝ)$ è immerso con compattezza nello spazio $C(\overline{\mathrm{\Omega }},ℝ)$: $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\subset \subset C(\overline{\mathrm{\Omega }})1\le q<\mathrm{\infty };$

Conseguenze

Dal momento che un'immersione è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è compatto, il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in $W^{1,p}(\mathrm{\Omega },ℝ)$ possiede una sottosuccessione convergente in $L^q(\mathrm{\Omega },ℝ)$. Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come teorema "di selezione" di Rellich-Kondrakov.

Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la disuguaglianza di Poincaré, che afferma che per $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega },ℝ)$ (dove $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza):

$\Vert u-u_{\mathrm{\Omega }}{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$

per qualche costante $C$ dipendente soltanto da p e dalla geometria del dominio $\mathrm{\Omega }$, dove:

$u_{\mathrm{\Omega }}:=\frac{1}{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}(\mathrm{\Omega })}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)\mathrm{d}x$

denota il valor medio di $u$ su $\mathrm{\Omega }$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Disuguaglianza di Sobolev (Teorema di immersione di Sobolev)
• Immersione continua
• Immersione compatta
• Operatore compatto
• Spazio di Sobolev
• Spazio Lp

Collegamenti esterni

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