Immersione compatta

In matematica, la nozione di immersione compatta esprime l'idea che un insieme sia "ben contenuto" all'interno di un altro. Il concetto di immersione compatta è presente in topologia ed in analisi funzionale.

Definizione (spazi topologici)

Sia $(X,T)$ uno spazio topologico, e siano $V$ e $W$ sottoinsiemi di $X$. Si dice che $V$ è immerso in modo compatto in $W$, e si scrive $V\subset \subset W$, se:

• $V\subseteq \mathrm{C}\mathrm{l}(V)\subseteq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(W)$, dove $\mathrm{C}\mathrm{l}(V)$ denota la chiusura di $V$, $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(W)$ denota la parte interna di $W$ e:
• $\mathrm{C}\mathrm{l}(V)$ è compatto.

Definizione (spazi normati)

Siano $X$ e $Y$ due spazi normati con norme $\Vert \cdot {\Vert }_X$ e $\Vert \cdot {\Vert }_Y$ rispettivamente, e si supponga che $X\subseteq Y$. Si dice che $X$ è immerso in modo compatto in $Y$, e si scrive $X\subset \subset Y$, se:

• $X$ è immerso continuamente in $Y$; cioè esiste una costante $C$ tale che $\Vert x{\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X$ per ogni $x\in X$;
• qualsiasi insieme limitato in $X$ è precompatto in $Y$, cioè qualsiasi successione in tale insieme limitato possiede una sottosuccessione che è di Cauchy nella norma $\Vert \cdot {\Vert }_Y$.

Se $Y$ è uno spazio di Banach, una definizione equivalente è che l'operatore di immersione (l'identità) $i:X\to Y$ è un operatore compatto.

Questa definizione dell'immersione compatta viene utilizzata nell'ambito dell'analisi funzionale quando si studiano spazi di Banach di funzioni. Parecchi teoremi di immersione di Sobolev sono teoremi di immersione compatta.

Bibliografia

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Voci correlate

• Disuguaglianza di Sobolev
• Immersione continua
• Sottospazio relativamente compatto
• Spazio di Banach
• Spazio di Hilbert