Teorema di Borel-Carathéodory

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Borel-Carathéodory è un'applicazione del teorema del massimo modulo che mostra che una funzione olomorfa può essere limitata dalla sua parte reale.

Il nome dell'enunciato è dovuto a Émile Borel e Constantin Carathéodory.

Il teorema

Sia $f$ una funzione olomorfa su un cerchio di raggio $R$ centrato nell'origine. Dato $r<R$, vale la disuguaglianza:

$\Vert f{\Vert }_r\le \frac{2r}{R-r}\underset{|z|\le R}{\sup }\mathrm{Re}(f(z))+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|$

dove la norma al membro di destra è il massimo valore assunto da $f$ nel disco chiuso:

$\Vert f{\Vert }_r=\underset{|z|\le r}{\max }|f(z)|=\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|$

L'ultima uguaglianza è dovuta al teorema del massimo modulo.

Dimostrazione

Sia $A$ un numero definito come:

$A=\underset{|z|\le R}{\sup }\mathrm{Re}(f(z)),$

e si ponga $f(0)=0$. Dal momento che $\mathrm{Re}(f)$ è una funzione armonica si può considerare $A>0$. Si ha che $f$ mappa nel semipiano complesso $P$ alla sinistra della retta $x=A$. In pratica, si vuole mappare tale semipiano in un disco, dove si applica il lemma di Schwarz: se la funzione $w\mapsto w/A-1$ mappa $P$ nel semipiano a sinistra dell'origine, la funzione $w\mapsto R(w+1)/(w-1)$ manda il semipiano a sinistra dell'origine nel cerchio di raggio $R$ centrato nell'origine. La composizione delle due mappe:

$w\mapsto \frac{Rw}{w-2A}$

manda $0$ in $0$, ed è dunque la funzione cercata. Applicando il lemma di Schwarz a tale funzione e $f$ si ottiene:

$\frac{|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}\le |z|.$

Prendendo $|z|\le r$ la precedente equazione diventa:

$R|f(z)|\le r|f(z)-2A|\le r|f(z)|+2Ar$

in modo che:

$|f(z)|\le \frac{2Ar}{R-r}$

come si voleva mostrare.

Nel caso generale, si può semplicemente applicare il ragionamento alla funzione $f(z)-f(0)$:

$|f(z)|-|f(0)|\le |f(z)-f(0)|\le \frac{2r}{R-r}\underset{|w|\le R}{\sup }\mathrm{Re}(f(w)-f(0))\le \frac{2r}{R-r}(\underset{|w|\le R}{\sup }\mathrm{Re}(f(w))+|f(0)|)$

Bibliografia

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.

Voci correlate

• Funzione analitica
• Funzione limitata
• Teorema del massimo modulo