Lemma di Schwarz

Template:Nota disambigua In matematica, e in particolare in analisi complessa, il lemma di Schwarz descrive una proprietà delle funzioni olomorfe. Il lemma, che prende il nome da Hermann Amandus Schwarz, è un risultato minore, utilizzato per la dimostrazione di altri teoremi più importanti, come il teorema della mappa di Riemann. È uno dei risultati più semplici che caratterizzano la "rigidità" delle funzioni olomorfe, che non trova analogie nel comportamento delle funzioni reali.

Enunciato

Sia $D=\{z:|z|<1\}$ il disco aperto unitario nel piano complesso $ℂ$ e sia $f:D\to \bar{D}$ una funzione olomorfa che fissa l'origine, cioè $f(0)=0$. Allora valgono le seguenti relazioni:

• $|f(z)|\le |z|\mathrm{\forall }z\in D;$
• $|f^{\prime }(0)|\le 1.$

Inoltre, se esiste $z_0\in D-\{0\}$ tale che

$|f(z_0)|=|z_0|,$

oppure

$|f^{\prime }(0)|=1,$

allora $f$ è una rotazione nel piano complesso:

$f(z)=az(|a|=1).$

Dimostrazione

La dimostrazione sfrutta essenzialmente il teorema del massimo modulo, applicandolo alla funzione

$g(z)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(z)}{z}& \text{se }z\ne 0,\\ f^{\prime }(0)& \text{se }z=0,\end{array}$

che risulta essere analitica nel disco unitario. Considerando un arbitrario disco chiuso interno al disco unitario aperto

$D_r=\{z\in ℂ:|z|\le r<1\},$

e applicando il teorema del massimo modulo si ha che per $z$ interno al $D_r$ e $z_r$ sulla frontiera vale

$|g(z)|\le |g(z_r)|=\frac{|f(z_r)|}{|z_r|}\le \frac{1}{r}.$

Dovendo questo valere per $r$ arbitrariamente vicino a $1$, risulta $|g(z)|\le 1,$ che è la prima parte della tesi.

Se valesse poi $|f(z)|=|z|$ oppure $|f^{\prime }(z)|=1$ in un punto $z_0\in D,$ allora la $g(z)$ assumerebbe massimo all'interno del disco, cioè sarebbe una costante $a$ di modulo $|a|=1$. Quindi $g(z)=a$ cioè $f(z)=az$ che è la tesi.

Estensioni del teorema

Il teorema di Schwarz-Pick asserisce che, data una funzione olomorfa $f:D\to D$, valgono le seguenti relazioni (con $z_1,z_2,z\in D$):

• $\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|\le \frac{|z_1-z_2|}{|1-\overline{z_1}{z}_2|};$
• $\frac{|f^{\prime }(z)|}{1-{|f(z)|}^2}\le \frac{1}{1-{\left|z\right|}^2}.$

Usando la metrica di Poincaré, definita dalla funzione:

$d(z_1,z_2)={\tanh }^{-1}\left(\frac{|z_1-z_2|}{|1-\overline{z_1}{z}_2|}\right),$

la funzione $f$ risulta essere una funzione contrattiva, in quanto accorcia le distanze tra i punti del piano (teorema di Schwarz–Ahlfors–Pick).

Se per una delle precedenti espressioni vale l'uguaglianza, allora $f$ è un automorfismo analitico, espresso tramite una trasformazione di Möbius.

Il teorema di Schwarz può inoltre essere considerato come un caso particolare del teorema di de Branges.

Bibliografia

• Template:En Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces. New York, Springer-Verlag, 2002 ISBN 3-540-43299-X
• Template:En S. Dineen, The Schwarz Lemma. Oxford University Press, 1989 ISBN 0-19-853571-6

Voci correlate

• Funzione contrattiva